Très très difficile**2 = √2!!!!**

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x-man
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Enregistré le: 08 Avr 2008, 02:21

très très difficile**2 = √2!!!!**

par x-man » 08 Avr 2008, 02:36

Image
On prend un carré de côté 1, et on décompose ses côtés en n segments
égaux, donc un quadrillage de n² petits carrés qu'on va densifier. On trace la courbe violette qui part, comme la diagonale, d'en bas à gauche pour aller en haut à droite, mais en suivant des marches d'escalier comme indiqué.
La longueur de la courbe violette est toujours 2, puisque ses éléments verticaux se superposent au côté vertical de longueur 1, et ses éléments horizontaux se superposent au côté horizontal de longueur 1.
Quelle que soit la valeur de n (par exemple si l'on décompose en deux à chaque fois, n= 2 puissance p), la surface comprise entre la courbe violette et la diagonale se compose de 2n triangles de côté 1/2n donc de surface 1/8n². Cette surface vaut 2n x 1/8n² = 1/4n elle tend vers 0 quand on fait croître n : la courbe violette se rapproche de la diagonale. On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur ;)2, longueur de la diagonale. Soit ce paradoxe qui nous ferait dire 2 = ;)2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.



SimonB
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par SimonB » 08 Avr 2008, 11:52

D'une part, chaque triangle a une aire de , donc l'aire totale est de (légère erreur de calcul). A la limite, on s'en fiche, ça tend toujours vers 0.
D'autre part, le fait que l'aire considérée tende vers 0 ne veut pas dire que la courbe que tu traces se rapproche de la diagonale...
Pour ce genre de paradoxe, le flocon de Von Koch ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch ) est l'archétype de la courbe de longueur infinie et d'aire finie...

JJa
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par JJa » 08 Avr 2008, 11:56

C'est bien connu :
http://mathworld.wolfram.com/DiagonalParadox.html
On peut faire un aussi grand nombre de marches que l'on veut, de plus en plus petites : Les points constituant la ligne brisée ne sont jamais alignés donc la limite, la ligne que l'on croit être une ligne droite, n'est jamais atteinte. La représentation graphique est trompeuse car faussée par l'épaisseur du trait de crayon.
Un grand nombre de paradoxes du même genre ont été imaginés, basés sur une mauvaise définition de la notion de limite.

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 08 Avr 2008, 12:20

bjr,

la courbe en escalier n'est pas la courbe représentative d'une fonction.
Si l'on change d'axe en prenant pour nouvel axe des x la diagonale par une isométrie, la courbe en escalier devient fonctionnelle et la diagonale a pour équation Y=0

Quand on "densifie" , la suite de fonction ,représentatives des
fonctions en escalier, converge en norme uniforme vers zéro mais pas en norme C1


donc, il n'y a pas de convergence des longueurs de courbes qui sont respectivement 2 et

Il y a quand même une relation entre la longueur de courbe s(x), aire a(x) et fonction f(x) au voisinage d'une abscisse x:
la dérivée seconde de l'aire est a''(x)=f '(x) et la dérivée de l'abscisse curviligne

ça ne tient à pas grand chose car si l'on tronque chaque petit triangle en un trapèze isocèle (on coupe les pointes), la longueur de la courbe convergera vers .

JJa
Membre Relatif
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par JJa » 08 Avr 2008, 12:52

La réponse de busard_des_roseaux est évidemment d'un meilleur niveau que celle que j'avais volontairement située à un niveau assez "naïf".
Je ne sais pas si x-man est en mesure de comprendre les notions de norme et de densité au sens mathématique de ces termes.

x-man
Membre Naturel
Messages: 14
Enregistré le: 08 Avr 2008, 02:21

par x-man » 08 Avr 2008, 16:17

merci
mais je veux une explication simple :(

JJa
Membre Relatif
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par JJa » 08 Avr 2008, 16:31

Tu as eu une explication simple : Relis le message #3.
Ton erreur est de croire qu'une ligne brisée a pour limite une ligne droite.
Tu peux diviser la taille des escaliers autant que tu veux. Cela reste une ligne en escalier et ne devient jamais une ligne droite.
Attention à ce qu'est une limite : ne pas se laisser tromper par une illusion d'optique avec dessin dont les traits ont une épaisseur. Une ligne n'a pas d'épaisseur en mathématiques.

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 08 Avr 2008, 17:25

x-man a écrit:merci
mais je veux une explication simple :(


c'est quoi une explication simple ? :hum:

la longueur de la côte bretonne dépend de l'échelle choisie, comme l'a indiqué Benoit Mandelbrot:

mesurée en avion, mesurée en marchant à pied sur les plages, mesurée en passant par les anfractuosités des rochers,mesurée à l'échelle atomique, etc..

içi tes deux courbes sont les "mêmes": elles vont de A à B avec en moyenne une inclinaison de

à l'échelle macroscopique, la courbe a une longueur de
à l'échelle microscopique une longueur de 2.

 

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