Topologie de Zariski - construction et utilité

[Lostounet]

Rebonsoir,

Je planche sur un exercice afin de comprendre la topologie de Zariski et son utilité (pour l'instant assez flou).
Soit A anneau commutatif
Soit X = {idéaux premiers de A}
Pour I idéal de X, soit

Z inclus dans X est un fermé de X pour cette topologie si il existe I tel que Z = V(I)
1) Pour commencer, pourquoi le vide et X sont des fermés de X ?...
Je ne vois pas quoi prendre... c'est un peu des cas pathologiques


Merci de m'aider

[Ben314]

Perso, je dirais surement pas que c'est des cas "pathologiques", mais plutôt des cas "extrêmes" (le plus gros et le plus petit possible) ou éventuellement "un peu particulier".
D'un autre coté, V(I) dépend de l'idéal I choisi et c'est quoi les "cas extrêmes" (ou "un peu particulier") d'idéal d'un anneau A quelconque ?

[Lostounet]

Je pense qu'il y en a deux des cas extrêmes: l'idéal (0) nul et l'idéal anneau A tout entier.

Il me semble que Vide = V(A) et X = V((0))

car certaines idéaux de A ne sont pas dans les idéaux premiers?

Alors que l'idéal nul est dans tous les idéaux premiers (quoi et pourquoi?)

[Ben314]

1) Par définition, un idéal premier est distinct de A donc V(A)=vide.
2) Par définition, tout idéal (donc en particulier tout idéal premier) est un groupe additif donc contient .
Donc V({0_A})=tout les idéaux premiers.

[Lostounet]

Merci, c'est clair.

Ensuite je dois prouver l'équivalence suivante:
Soit p idéal premier et I1;I2;..In des idéaux de A

(i) p contient au moins un des Ik
(ii) p contient l'intersection des Ik
(iii) p contient l'idéal produit I1I2..In

Pour (i)=>(ii) j'ai dit que l'intersection est forcément incluse dans un des idéaux
(ii)=>(iii) j'ai mis que l'idéal produit est toujours inclus dans l'intersection des idéaux

Par contre pour (iii) implique (i) je ne vois pas?

[Ben314]

Ben, là, il faudrait éventuellement songer à utiliser le fait que p est un idéal premier vu que pour les deux autres implication, on peut pas dire qu'on se soit servi de quoi que ce soit à part des inclusion (triviales).

Donc là, clairement, ça va pas être du "complètement trivial" et il va falloir utiliser le fait que p est premier (=> réécrire la définition dans un coin et éventuellement les propriétés connues).
Sinon, concernant l'hypothèse (iii), il n'y a pas grand chose à dire, mais voit tu comment procéder pour montrer (i), c'est à dire montrer que "au moins un des Ik est contenu dans p". (si on a jamais fait ce type de truc, c'est pas complètement évident...).
Bref, sait tu comment montrer que "au moins un truc possède la propriété bidule" (perso, je vois 2 méthodes dont une que j'aime pas bien...)

[Lostounet]

Bref, sait tu comment montrer que "au moins un truc possède la propriété bidule" (perso, je vois 2 méthodes dont une que j'aime pas bien...)

Par exemple on peut essayer cette méthode:
supposer que si p ne contient aucun des Ik alors il ne peut pas contenir l'idéal produit?

Ou sinon montrer que si p contient l'idéal produit et que p ne contient pas I1 ni I2 ni..In-1 alors il contient In ? Est-ce valable?

[Lostounet]

Donc là, clairement, ça va pas être du "complètement trivial" et il va falloir utiliser le fait que p est premier (=> réécrire la définition dans un coin et éventuellement les propriétés connues).

L'anneau A/(p) est un anneau intègre... Si un produit de gens de A appartient à I alors au moins un des gens est dans I...?

[Ben314]

Effectivement, pour montrer que "il y a au moins un....." le premier truc qui vient à l'esprit, c'est par l'absurde ou par contraposition.
Une autre méthode, c'est de supposer que tous sauf un ne "marchent pas" et de démontrer que le dernier est obligé de marcher.
Donc là, une option (pas très différente de la contraposée en fait), c'est de supposer que ni I2, ni I3,..., ni In ne sont contenus dans p et de démontrer qu'avec ces hypothèses là, I1 est forcément contenu dans p (et vu sous cet angle, c'est passablement trivial...)

[Lostounet]

Effectivement, pour montrer que "il y a au moins un....." le premier truc qui vient à l'esprit, c'est par l'absurde ou par contraposition.
Une autre méthode, c'est de supposer que tous sauf un ne "marchent pas" et de démontrer que le dernier est obligé de marcher.
Donc là, une option (pas très différente de la contraposée en fait), c'est de supposer que ni I2, ni I3,..., ni In ne sont contenus dans p et de démontrer qu'avec ces hypothèses là, I1 est forcément contenu dans p (et vu sous cet angle, c'est passablement trivial...)

Hmm... Supposons que p contient l'idéal I1I2...In et qu'il ne contient aucun des idéaux I2 à In. p doit contenir tout x de la forme suivante:
avec k décrivant un ensemble fini ...

(p est un idéal premier donc A/(p) est intègre...Peut-on dire quelque chose de A/(x) ??)

[Ben314]

Si c'est qu'il existe (au moins) un tel que .
Idem pour qui sont dans mais pas dans .

Si on prend maintenant un quelconque, le produit appartient à donc à et, comme est premier, c'est qu'un (au moins) des termes du produit est dans .
Comme ni , ni ,... ni ne sont dans c'est que forcément .
Conclusion

[Lostounet]

D'accord, merci. C'est ici qu'intervient la nature de p.

J'attaque maintenant le fait qu'une intersection quelconque de fermés est fermée et qu'une réunion finie de fermés est fermée (pour la topo de Zariski) (je n'ai pas encore assez réfléchi)

[Lostounet]

D'accord, merci. C'est ici qu'intervient la nature de p.

J'attaque maintenant le fait qu'une intersection quelconque de fermés est fermée et qu'une réunion finie de fermés est fermée (pour la topo de Zariski) (je n'ai pas encore assez réfléchi)

La réunion finie de fermés de cette topologie est donc bien fermée ? Puisque l'on prend l'ensemble des p qui contiennent au moins un des idéaux Ik donc les p contiennent tous l'idéal I1I2I3 ...In ? C'est cela?

Et pour l'intersection infinie? C'est par la (ii) ?

[Ben314]

Pour une réunion finie, oui, c'est bien ça.

Pour un intersection (quelconque), tu n'a besoin (quasi) de rien (en tout cas surement pas du théorème précédent avec son (i), (ii) et (iii)).

Le seul truc utile, c'est de savoir qu'une intersection (absolument quelconque) d'idéaux, c'est un idéal et que ça permet de parler de "l'idéal engendré" (par n'importe quoi) qui est défini comme l'intersection de tout les idéaux contenant le n'importe quoi en question (vu que cette intersection existe forcément est et un idéal) et tu en déduit bien sûr qu'il existe un "plus petit" (au sens de l'inclusion) idéal contenant le n'importe quoi en question.

[Lostounet]

Pour une réunion finie, oui, c'est bien ça.

Pour un intersection (quelconque), tu n'a besoin (quasi) de rien (en tout cas surement pas du théorème précédent avec son (i), (ii) et (iii)).

Le seul truc utile, c'est de savoir qu'une intersection (absolument quelconque) d'idéaux, c'est un idéal et que ça permet de parler de "l'idéal engendré" (par n'importe quoi) qui est défini comme l'intersection de tout les idéaux contenant le n'importe quoi en question (vu que cette intersection existe forcément est et un idéal) et tu en déduit bien sûr qu'il existe un "plus petit" (au sens de l'inclusion) idéal contenant le n'importe quoi en question.

Soit (Zk) avec k dans [1;n] des fermés. Pour chaque k, il existe un Ik tel que
Pour la réunion j'ai marqué:




= V(I1 I2 I3 ...In)

Pour l'intersection... je peux utiliser le symbole "infini" ?
Je prends les idéaux premiers qui contiennent tous les idéaux choisis parmi un ensemble "infini"?

[Ben314]

Ben oui, il faut évidement indexer les I_? sur un ensemble infini pour traiter le cas d'une réunion éventuellement infini.
Par contre, je comprend pas trop ce que tu veut dire avec ton "je peux utiliser le symbole infini".
Si c'est à une écriture de la forme , non, ça ne va pas du fait que ça ne permet appréhender qu'une intersection dénombrable de fermé donc uniquement un "cas particulier" d'intersection infinie.
Bref, tu as pas trop le choix, il faut partir avec du :
Soit une suite de fermés où K est un ensemble absolument quelconque (pas forcément égal à N, ni contenu dans N, pas forcément infini, de cardinal éventuellement bien plus gros que du dénombrable, ...)
Et le "symbole infini" ne te sert absolument à rien dans un tel contexte (de toute façon, tu voudrais qu'il désigne quoi en fait ?)

Le but du jeu de ces "intersection quelconque" (ça serait évidement pareil avec des réunion quelconque), c'est de pouvoir écrire des truc du style :
On prend l'intersection de tout les ... ayant telle propriété (par exemple contenant un certain ensemble donné) et il est bien clair que, lorsque l'on écrit un truc pareil, on n'a pas la moindre idée de "combien" il y a de tels ensembles : ça peut éventuellement être extrêmement gros.

Par exemple, en topologie, lorsque l'on écrit que "l'adhérence de X dans l'espace topo E, c'est l'intersection de tout les fermés contenant X".
Est ce que tu peut me dire, dans le cas où E=R (topo usuelle) et X=]0,1[, "combien" il y a de fermés de E contenant X ? (en particulier, est-ce dénombrable ?)

[Lostounet]

Ben oui, il faut évidement indexer les I_? sur un ensemble infini pour traiter le cas d'une réunion éventuellement infini.
Par contre, je comprend pas trop ce que tu veut dire avec ton "je peux utiliser le symbole infini".
Si c'est à une écriture de la forme , non, ça ne va pas du fait que ça ne permet appréhender qu'une intersection dénombrable de fermé donc uniquement un "cas particulier" d'intersection infinie.
Bref, tu as pas trop le choix, il faut partir avec du :
Soit une suite de fermés où K est un ensemble absolument quelconque (pas forcément égal à N, ni contenu dans N, pas forcément infini, de cardinal éventuellement bien plus gros que du dénombrable, ...)
Et le "symbole infini" ne te sert absolument à rien dans un tel contexte (de toute façon, tu voudrais qu'il désigne quoi en fait ?)

D'accord je vois un peu...
Et la réunion aussi a le droit d'être infinie ? Pour montrer que c'est une topologie je ne fais que le cas que je t'ai montré (ensemble fini)

En ce qui concerne l'intersection infinie, soit K un ensemble quelconque.


=
= (à justifier)

Et ça dedans c'est un idéal car une intersection quelconque d'idéaux est aussi un idéal?

[Ben314]

Hummmmm...
Le "à justifier" c'est.... pas gagné...

[Lostounet]

On me pose ensuite une question (horrible) qui est la suivante:

Montrer que pour tout idéal I de A on a:
et mettre en bijection les fermés de X et les idéaux radicaux de A.

Ce que j'ai pensé à faire, en relisant mon TD, c'est utiliser un résultat qui s'en rapproche: l'ensemble des nilpotents est l'intersection de tous les idéaux premiers.
Mais je ne sais absolument pas si ça peut nous aider ici, ou comment passer de ça à l'autre. Il me semble que être nilpotent c'est lié au fait d'appartenir à l'idéal (0).

[Lostounet]

Hummmmm...
Le "à justifier" c'est.... pas gagné...

Ah c'est faux?
Si on prends les idéaux premiers contenant I1 ET les p contenant I2 Et les p contenant I3 on se retrouve ... pas avec des p qui les contiennent tous?

Si on a {gens de X / vérifiant propriété P1} inter {gens de X/vérifiant propriété P2} ça donne {gens de X/vérifiant P1 et P2} ?