Topologie de Zariski - construction et utilité

[Ben314]

C'est quoi les ensemble de lettres qui contiennent {a,c,f} ET qui contiennent {b,c,k} ET qui contiennent {a,k,m} ?

[Lostounet]

L'ensemble de lettres {a;b;c;f;k;m} permet de former ces trois sous-ensembles...

[Ben314]

Certes, mais c'est pas ça la question.
Je te demande comment caractériser simplement (i.e. sans avoir recours à des ET) les ensemble qui contiennent ces 3 là :
A contient à la fois B et C et D ssi ...

[Lostounet]

Ssi A contient BUCUD ?

[Ben314]

ben oui....

[Lostounet]

ben oui....

=
=

Mais ce qu'il y a dedans est une réunion quelconque d'idéaux...

Le seul truc utile, c'est de savoir qu'une intersection (absolument quelconque) d'idéaux, c'est un idéal et que ça permet de parler de "l'idéal engendré" (par n'importe quoi) qui est défini comme l'intersection de tout les idéaux contenant le n'importe quoi en question (vu que cette intersection existe forcément est et un idéal) et tu en déduit bien sûr qu'il existe un "plus petit" (au sens de l'inclusion) idéal contenant le n'importe quoi en question.

[Lostounet]

D'ailleurs je me demande bien si c'est une réunion ou une somme d'idéaux...
Il est vrai que si I inclus dans J alors V(J) inclus dans V(I) ?



=
=
= (?)

Sinon Ben aurais-tu des indications concernant la dernière question de cet exo?

Montrer que pour tout idéal I de A on a:
et mettre en bijection les fermés de X et les idéaux radicaux de A.

[Ben314]

=
=
Mais ce qu'il y a dedans est une réunion quelconque d'idéaux...

Ben justement, tu t'en fout qu'une réunion d'idéal ça soit ou pas un idéal vu que de toute façon, quelque soit la partie X de A (aussi pourrie soit-elle) tu as équivalence (pour un idéal I) entre et où c'est l'idéal engendré par X. (et c'est pour ça que j'avais mis la remarque).

Après, que l'idéal engendré par la réunion des I_k, ça soit égal à la somme des I_k, c'est effectivement vrai, mais au fond,on s'en f...

[Ben314]

La dernière question, a mon avis,
- Soit il faut (plus ou moins) recopier la preuve que tu as déjà faite dans le cas où I={0} (vu que tu as dit que tu avais déjà vu en T.D. que l'intersection de tout les idéaux premier c'était le nilradical de A, c'est à dire )
- Soit (et ça parait nettement plus malin) il faut se ramener à ce cas là pour utiliser directement le résultat et ne pas avoir à refaire une preuve plus que semblable.

[Lostounet]

Si on considère l'anneau quotient A/I, alors Nil(A/I) est l'intersection de tous les idéaux premiers de (A/I).
Or un idéal premier de A/I, c'est quelque chose de particulier.

Il me semble qu'il existe un théorème mais je ne m'en souviens pas, qui relie l'anneau quotient et ses idéaux premiers.

[Ben314]

Au lieu d'essayer de te souvenir (c'est traitre la mémoire...) tu ferais mieux d'essayer de retrouver...

En plus j'ai rien regardé pour le moment et je sais même pas si l'incitation que je t'ai donné à passer au quotient A/I, c'était une bonne idée ou pas...

EDIT : Sauf erreur, tout marche comme sur des roulettes en passant par A/I :
La surjection canonique A->A/I induit une bijection entre les idéaux de A contenant I et les idéaux de A/I.
Cette bijection envoie les idéaux premier de A contenant I sur les idéaux premiers de A/I (et réciproquement)
Et elle envoie le radical de I sur le nilradical de A/I.

[Lostounet]

Hm ... est-ce trivial qu'elle est bijective la surjection canonique?

J'ai du mal à bien comprendre comment bien l'écrire proprement. Ne faut-il pas caractériser les idéaux premiers de A/I ?

(Enfin "relever dans A")

[Ben314]

As tu montré que la surjection canonique S induisait une bijection entre les Idéaux de A contenant I et les idéaux de A/I ?
Si oui, il te reste plus qu'à montrer que, si p est un idéal premier contenant I, alors S(p) est un idéal premier de A/I et que, réciproquement, si p' est un idéal premier de A/I alors S^{-1}(p') est un idéal premier de A contenant I.
Si je me suis pas gouré, c'est "total élémentaire"...

[Lostounet]

C'est peut-être techniquement facile (pas vraiment de difficultés de notation) mais conceptuellement c'est pas encore très clair pour moi...
Je vais y réfléchir un peu et je te dirais...

[Lostounet]

Soit I idéal de A on a:


Un idéal premier de A/I est-il forcément de la forme P/I avec P premier contenant I?
(Comme cela nous avons A/I*I/P = A/P qui est intègre ...)

Désolé Ben mais je n'y arrive pas. Dois-je utiliser la surjection canonique pendant ou après avoir montré cette égalité d'ensembles...

C'est quoi Nil(A/I) concrètement? des x de A/I tels que x^n = 0
Pourrais-tu donner plus d' éléments pour que je puisse y voir un peu mieux?

[Ben314]

C'est entièrement des trivialités (dont une bonne partie doivent être des résultats "de cours" à mon avis) :

Soit la surjection canonique.

1) est un morphisme d'anneau donc pour tout idéal l'ensemble est un idéal de (contenant car ) et, comme est surjective, .
Comme est surjective, pour tout idéal l'ensemble est un idéal de (sans la surjectivité, ça serait uniquement un sous-anneau) et on a lorsque .
Bilan : les application ensemblistes et induisent des bijections réciproques l'une de l'autre de l'ensemble des idéaux de contenant sur l'ensemble des idéaux de .

2) Si est un idéal premier de et que sont tels que alors et, comme K est premier, un (au moins) des deux éléments est dans donc un (au moins) des deux éléments est dans : est un idéal premier (contenant )
Si est un idéal premier de contenant et que sont tels que alors, vu que est surjective, il existe tels que et on a donc et, comme est premier, l'un des deux est dans donc l'un des éléments est dans : est premier.
Bilan : les bijections du 1) envoient les idéaux premiers sur les idéaux premier.

3) Si alors où donc il existe tel que d'où ce qui signifie que .
Réciproquement, si alors, il existe tel que et, comme est surjective, il existe tel que . Donc d'où ce qui signifie que et donc que
Bilan : et, grâce au 1) et du fait que on a aussi .

4) pour tout les idéaux premiers de donc (l'image réciproque d'une intersection quelconque est toujours égale à l'intersection des images réciproques) or, en vertu du 2), les différents sont très exactement les idéaux premier de contenant .

[Lostounet]

Il est tout simplement impossible de ne pas comprendre avec ces explications détaillées.
Merci infiniment Ben comme toujours, pour tout le soin que tu apportes à tes réponses. Sans toi je ne comprendrais quasiment rien...

Ça va me faire réviser les bases des anneaux quotients.