Topologie des compléments finis

[Ncdk]

Bonjour

J'avais un petit exercice que je voulais vérifier, savoir si mes arguments sont bons, car parfois ça me parait pas trop pertinent.

Soit X un ensemble. On pose
1) Montrer que T est une topologie sur X
2) Décrire T pour X fini
3) Prouver que T est séparé si et seulement si X est fini.

1) On voit clairement que
On sait que , de plus on peut voir aussi que , donc si alors donc , mais est dans T car X\U est dans T.
Donc on a un cas où donc

Soit U et V deux parties de T
Donc et ce qui implique que
Comme , alors

Soit

"J'ai un peu de mal à prouver ça en fait, je voudrais aboutir à un truc du style mais je vois pas comment partir, j'aurai bien voulu dire que chaque partie et dans X mais ça marche seulement pour les intersections, pas pour les unions"

2) On prend un U ouvert, si , , U est ouvert donc est fermé. Or X est fermé et ouvert donc est à la fois ouvert et fermé.

Si X\U est fini, on a est fini, est fermé car U est ouvert. Donc X\U est fermé.
Or et tout élément de T est ouvert car c'est une topologie, donc est ouvert.

Conclusion : Tout élément de T est ouvert et fermé donc T est la topologie discréte.

3) Supposons X fini, alors T est la topologie discrète.
T = P(X), on prend x et y dans X avec x différent de y, on prend dans X deux ouverts qui existent qui sont tout simplement les voisinages de x et y et que l'on notera V(x) et V(y), ils sont dans T car ils sont dans X.
Comme T=P(X), alors les parties de X sont deux à deux disjoints donc V(x) et V(y) le sont, ce qui implique que donc X fini implique que T est séparé.

Supposons maintenant que T est séparé, si X contient deux éléments x et y tel que x est différent de y, alors il existe deux ouverts V(x) et V(y) qui sont des voisinages de X tel que donc
Donc

Or et sont finis car V(x) est inclus dans X et de même pour V(y).

Conclusion : X est fini.


Merci d'avance.

[L.A.]

Bonjour,

1) Ce n'est pas bon, faisons la liste de ce que tu dois montrer :

a) Le vide est un ouvert : ça c'est immédiat
b) X est un ouvert : parce que son complémentaire est...
c) si U_1,...,U_n sont des ouverts et U leur intersection, prouver que X\U est soit égal à X, soit fini
d) si (U_i)_i sont des ouverts et U leur réunion, même chose.

2) La conclusion est la bonne (topologie discrète), mais tu peux être beaucoup plus efficace dans la rédaction (la tienne est fausse a priori puisque le mot "fini" n'apparaît même pas ! en plus "tout élément de T est ouvert et fermé" sans doute, mais ça ne dit pas que la topologie est discrète). Prends une partie U quelconque et prouve directement qu'elle est ouverte.

3) La deuxième partie est bonne (il faut juste écarter le cas X\V(x)=X avant de dire V(x) fini, idem pour y). Pour la première, tu dis que "les parties de X sont deux à deux disjointes" ce qui ne veut pas dire grand chose... En topologie discrète, quel est le voisinage le plus simple possible d'un point x ?

[Ncdk]

Bonjour,

1) Ce n'est pas bon, faisons la liste de ce que tu dois montrer :

a) Le vide est un ouvert : ça c'est immédiat
b) X est un ouvert : parce que son complémentaire est...

Quelque chose m'échappe peut-être mais, pour prouver que T est une topologie, il faut que l'ensemble vide et X soit dans T, pourquoi montrer que le vide et X sont ouvert suffit ?

Ah mais en fait, je crois que je dis une bétise, en fait je suis là pour être sur, mais on est bien d'accord que A une partie de X est ouverte si et seulement si A est dans T ?

c) si U_1,...,U_n sont des ouverts et U leur intersection, prouver que X\U est soit égal à X, soit fini
d) si (U_i)_i sont des ouverts et U leur réunion, même chose.

Je vais essayer ça de mon côté merci de l'indication

2) La conclusion est la bonne (topologie discrète), mais tu peux être beaucoup plus efficace dans la rédaction (la tienne est fausse a priori puisque le mot "fini" n'apparaît même pas ! en plus "tout élément de T est ouvert et fermé" sans doute, mais ça ne dit pas que la topologie est discrète). Prends une partie U quelconque et prouve directement qu'elle est ouverte.

Hum... Je suis partit de U un ouvert, j'ai sous-entendu que c'était une partie ouverte en fait, Si je rajoute la condition que U est une partie de X, avec X fini, le déroulement est la même chose donc et j'arrive à ma conclusion qui est que toute partie U est à la fois ouverte et fermé dans T, ça suffit pour dire que c'est la topologie discréte qui dit que "Tout sous-ensemble de X est à la fois ouvert et fermé"

3) La deuxième partie est bonne (il faut juste écarter le cas X\V(x)=X avant de dire V(x) fini, idem pour y). Pour la première, tu dis que "les parties de X sont deux à deux disjointes" ce qui ne veut pas dire grand chose... En topologie discrète, quel est le voisinage le plus simple possible d'un point x ?

En fait, ce que j'ai fait pour ma première partie c'est que je démarre en supposant X fini, par la question 2 ça me dit que T = P(X) donc la topologie discrète, et je voulais utiliser la définition de partition, donc que aucune partie n'est vide, l'union de ses parties donne X et que ces parties sont deux à deux disjointes. C'est pour ça que j'en parle en fait.

[L.A.]

Quelque chose m'échappe peut-être mais, pour prouver que T est une topologie, il faut que l'ensemble vide et X soit dans T, pourquoi montrer que le vide et X sont ouvert suffit ?

Ah mais en fait, je crois que je dis une bétise, en fait je suis là pour être sur, mais on est bien d'accord que A une partie de X est ouverte si et seulement si A est dans T ?

Bien évidemment, c'est la définition d'une topologie : l'ensemble T est l'ensemble des parties ouvertes de X.

Hum... Je suis partit de U un ouvert, j'ai sous-entendu que c'était une partie ouverte en fait, Si je rajoute la condition que U est une partie de X, avec X fini, le déroulement est la même chose donc et j'arrive à ma conclusion qui est que toute partie U est à la fois ouverte et fermé dans T, ça suffit pour dire que c'est la topologie discréte qui dit que "Tout sous-ensemble de X est à la fois ouvert et fermé"

Oui tu avais sans doute la bonne idée, mais la rédaction était très mauvaise. Rmq : tu n'as pas à montrer que tout ensemble est ouvert ET fermé, mais seulement que tout ensemble est ouvert (il sera alors automatiquement fermé en tant que complémentaire d'un ouvert), tu confonds peut-être avec la connexité...

je voulais utiliser la définition de partition, donc que aucune partie n'est vide, l'union de ses parties donne X et que ces parties sont deux à deux disjointes. C'est pour ça que j'en parle en fait.

Je vois, tu voulais partitionner X en singletons, chacun étant ouvert et disjoints. C'est la bonne idée, mais encore une fois on peut être plus direct.

[Ncdk]

Oui tu avais sans doute la bonne idée, mais la rédaction était très mauvaise. Rmq : tu n'as pas à montrer que tout ensemble est ouvert ET fermé, mais seulement que tout ensemble est ouvert (il sera alors automatiquement fermé en tant que complémentaire d'un ouvert), tu confonds peut-être avec la connexité...

Hum... ça doit être ma rédaction qui est pas clair ou moi qui comprends pas :p

Je suis partit d'une partie ouvert U fini.
J'ai prit le premier cas qui est donc son complémentaire vaut X, donc est fermé. Mais on sait déjà que X est fermé, certes c'est ce que je viens de montrer mais il est aussi ouvert, donc est ouvert et par conséquent, U est fermé, donc pour ce cas précis, j'ai qui est ouvert et fermé.

Ensuite comme X est fini, je prends toujours une partie U ouverte fini, donc X\U est fini, qui lui même est , comme j'ai prit U ouvert, alors est fermé, donc X\U est fermé. Mais comme X\U est dans T, c'est ouvert ! Donc du coup est ouvert, et donc U est fermé.

[L.A.]

Certes, mais tu démontres 4 fois la même chose, si ce n'est plus !

Supposons X fini et soit U une partie quelconque de X, alors X\U est fini, donc U appartient à T (autrement dit U est ouvert).
Conclusion : T=P(X)

[Ncdk]

Certes, mais tu démontres 4 fois la même chose, si ce n'est plus !

Supposons X fini et soit U une partie quelconque de X, alors X\U est fini, donc U appartient à T (autrement dit U est ouvert).
Conclusion : T=P(X)

Comment tu peux conclure si rapidement ? Je vois pas ce que tu as utilisé pour conclure en fait

[L.A.]

Dans le cas général, T est l'ensemble des parties de X qui sont soit vides, soit de la forme X\{x_1,...,x_n}.
Dans le cas X fini, toutes les parties de X sont de la forme X\{x_1,...,x_n}, donc a fortiori T=P(X).

[Ncdk]

D'accord merci :)

D'ailleurs, pourquoi la condition X fini ? Qu'est-ce que cela donnerait avec X infini ?

[L.A.]

Dans le cas X infini, ça te donne un exemple de topologie non séparée (c'est la question 3) qui te le dit) donc a fortiori non métrisable, déjà ça ce n'est pas très habituel. Ensuite n'importe quel ouvert non vide est dense (son adhérence vaut X), donc elle est dite irréductible, en particulier elle est connexe (alors que pour X fini la topologie était discrète, c'est à dire la moins connexe possible). Les cas fini et infini sont donc très différents, mais vu la définition on pouvait s'y attendre.

Dernière chose, si X est un corps, disons algébriquement clos donc infini, ça te donne la topologie de Zariski sur la droite affine (privée de son point générique), très bien connue de ceux qui font de la géométrie algébrique... voilà, c'est à peu près tout.

[Ncdk]

Je te remercie pour ta réponse complète, je vais refaire un peu cet exercice, j'ai les bonnes cartes en main :)