Theorie des groupes

[Simpi]

Bonjour,
on me demande de trouver tous les groupes d'ordre 21.
voici mon raisonnement:
soit G un groupe d'ordre 21, on a 21= 3*7
d'apres Sylow il existe H un 3-sous groupe de Sylow et K un 7-sous de Sylow, comme 3 et 7 sont premiers alors
H et K sont cyclique,
l'ordre de H est 3 et celui de K est 7 donc isomorphe respectivement à Z/3Z et Z/7Z
d'ou G isomorphe à Z/3Z*Z/7Z

[Doraki]

c'est bon sauf ta dernière ligne.

Ce n'est pas parcequ'un groupe G contient deux sous groupe H et K que G est le produit de H et K

[Simpi]

Oui c'est vrai ca me revient, pour que G soit le produit direct de deux sous-groupes, il faut que les deux sous groupes soit distingué dans G ce qui est le cas ici, egalement leur intersection soit reduit à l'element neutre ce qui est verifié car les deux sous groupes sont d'ordre premier ensuite G=HK ce qui vrai en passant par leur ordre. c'est ca non?

[Doraki]

Pourquoi est-ce qu'ils seraient distingués dans G ?

[Ben314]

Salut,
Juste pour voir, que pense tu de la loi définie sur l'ensemble par ?