Théorie des groupes

par **iamsebfont** » 18 Juin 2009, 22:33

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à répondre à ces quelques questions ?

1) Est-ce qu'un groupe fini d'ordre 7 possède nécessairement 7 classes de conjugaison.
A priori , je dirai non mais je n'arrive pas à trouver d'exemple de groupe fini d'ordre 7 avec moins de 7 classes de conjugaison ..

2) Est ce que la restriction d'une représentation irréductible d'un groupe à un sous groupe n'est jamais irréductible ?
En général, la restriction n'est pas irréductible mais il doit surement exister un ou plusieurs cas où la restriction est également irréductible.. non ?

Merci d'avance !

par **yos** » 19 Juin 2009, 04:37

1) Il serait pas commutatif ton groupe? Qu'en résulte-t-il pour les classes de conjugaison?

2) Bizarre la question. Si on prend une représentation de degré 1,...

par **iamsebfont** » 19 Juin 2009, 08:13

1) Si le groupe est commutatif, il contient autant de classe de conjugaison qu'il n'a d'élément. Donc, si le groupe est d'ordre 7 et commutatif, on aura nécessairement 7 classes de conjugaison. Donc, si on ne considère que les groupes commutatif, la réponse à ma première question est "oui". Mais les groupes ne se limitent pas qu'à ceux-ci ..
Pour moi, la réponse à ma première question est "non" et je cherche un exemple pour justifier cela.

Mais je ne trouve pas .. :triste:

2) Oui mais il faut prendre un sous-groupe non trivial ( différent de l'élément neutre ou du groupe lui-même..). Evidemment, si je prend n'importe qu'elle groupe dont une représentation est irréductible, j'obtiens également une représentation irréductible si je restreint le groupe au groupe lui-même.

par **ffpower** » 19 Juin 2009, 08:34

Je me demande d ou tu le sors ton groupe non commutatif d ordre 7...

par **iamsebfont** » 19 Juin 2009, 08:51

ffpower a écrit:Je me demande d ou tu le sors ton groupe non commutatif d ordre 7...

Bah je sais pas, mais montre moi qu'il n'existe aucun groupe non commutatif d'ordre 7 ..

par **ffpower** » 19 Juin 2009, 09:33

dans tes recherches de groupe d ordre 7,commutatifs ou pas,tu en a trouvé combien pour l instant?

par **yos** » 19 Juin 2009, 10:03

Faire de la théorie des représentations de groupes sans connaître les bases de la théorie des groupes est périlleux.
Connais tu le théorème de Lagrange? Les groupes cycliques?

Pour la question 2, j'ai pas pris un sous-groupe particulier, mais j'ai pris une représentation de G de degré 1 (nécessairement irréductible). La restriction de cette représentation à un sous-groupe H de G est encore de degré 1, donc encore irréductible.

par **iamsebfont** » 19 Juin 2009, 10:17

ffpower a écrit:dans tes recherches de groupe d ordre 7,commutatifs ou pas,tu en a trouvé combien pour l instant?

Bah, ya le groupe cyclique

dont les éléments sont

avec n=0,1,...,6. , les 7 racines de l'unité, non ?

Non, je ne connais pas le théorème de Lagrange ..

par **yos** » 19 Juin 2009, 10:19

Ca dit que l'ordre d'un sous-groupe (donc d'un élément aussi) divise l'ordre du groupe. Dans un groupe d'ordre 7, les éléments sont d'ordre ...

par **iamsebfont** » 19 Juin 2009, 10:21

Haaa, j'ai trouvé, un groupe d'ordre premier est nécessairement cyclique.. donc, le groupe d'ordre 7 possède nécessairement 7 classes de conjugaison.

Merci Lagrange et vous deux aussi !

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