Théorie des groupes (Issue du cours de Querré)

[ThSQ]

Z(G)= avec |Z(G)|=n

La dernière étant "élémentaire" et découle du 1er th. d'isom.

La commutativité de H et le fait que Z(G) est le centre permettent d'écrire : pour un
Tout élément de G s'écrit

Je préfère travailler avec les isom intérieurs c'est plus clair pour moi.

Avec a et b sont deux des avec :
Et donc en particulier

Si avec a un des alors (les z s'annulent)

Si avec a et b deux des alors

Conclusion : est d'ordre n pour tout x dans G et on a même |Inn(G)| = |Inn(K)| avec .
Le dernier point permet de réduire considérablement Inn(G) mais je vois pas (encore) comment l'utiliser


PS J'espère qu'il n'y a plus trop de typos ....
PS2 Si il en restait encore une au moins, p*ta*n ...

[ThSQ]

Notre marquise est consternée par cette bêtise ou quoi ? :marteau:

[ThSQ]

Léon1789, ton boulot n'est pas fini !

[yos]

Ya peut-être mieux à faire que lui couper la tête.

[ThSQ]

Tu as raison, c'est trop doux :!:

[Doraki]

Soit G'= G/Z(G).
Je note 0 les éléments neutres et + les lois dans tous les groupes.
On note [x,y] = x+y-x-y (G×G -> G)

Comme G/Z(G) est commutatif on en déduit que :
[.,.] est à valeurs dans Z(G)
[x,y+z] = [x,y]+[x,z],
[x+y,z] = [x,z]+[y,z],
[x,y]+[y,x] = 0,
si x est dans Z(G), alors [x,y] = 0.
si pour tout y, [x,y] = 0, alors x est dans Z(G).

Donc [.,.] est un bimorphisme antisymétrique de G×G dans Z(G), et il passe au quotient
On peut dire aussi que c'est un morphisme injectif de G' dans (Hom(G',Z(G)),+).

Maintenant il faut construire une sorte de base orthonormée pour ce machin.

Je procède par récurrence et je suppose qu'on a construits (x1...xn),(y1...yn) tels que :
H=produit direct des et H'=produit direct des sont d'intersection nulle,
Pour tout i, xi et yi ont le même ordre dans G', qui est le même que [xi,yi] dans Z(G),
Pour tout i et j, [yi,yj] = [xi,xj] = 0, et [xi,yj] = 0 si i est différent de j.
On note que H est isomorphe à H'.

Si H×H' = G' alors on a fini.

Sinon, soit Z une classe d'ordre maximal d dans le quotient G'/(H×H').
Soit z0 au hasard dans Z, et soit z = z0 + ai*xi + bi*yi, où ai et bi sont des entiers choisis pour que
[z0,xi] + bi*[yi,xi] = [z0,yi] + ai*[xi,yi] = 0 dans Z(G).
(C'est possible car Z(G) est cyclique et l'ordre de [z0,xi] divise celui de xi, qui est celui de [xi,yi], donc c'en est un multiple).

On a alors [z,xi] = [z,yi] = 0 pour tout i : z est orthogonal à H et H'.

d*z est dans H×H' car Z est d'ordre d.
[xi, d*z] = d*[xi,z] = 0, pour tout i, donc d*z = 0.

Donc z est d'ordre d dans G'.
Et donc le morphisme x -> [z,x] l'est aussi (parce que [.,.] est un morphisme injectif),
et donc il existe z'0 tel que [z,z'0] est d'ordre d dans Z(G). (ça c'est encore grâce à la cyclicité de Z(G))

Si k*z'0 est dans H×H' alors k*[z,z'0] = [z,k*z'0] = 0, donc la classe de z'0 dans le quotient G'/(H×H') est au moins d'ordre d.
Comme on a choisi Z d'ordre d maximal, cette classe est aussi d'ordre d.

On orthogonalise z'0 en z' comme on a fait avec z0 pour avoir z.
On a donc construit un couple (z,z') d'éléments d'ordre d de G' tels que
[z,xi] = [z,yi] = [z',xi] = [z',yi] = 0 pour tout i, et [z,z'] est d'ordre d dans Z(G).
Donc on rajoute z à H et z' à H' et on recommence.