Théorie des Groupes

[ArtyB]

Bonjour,

Je m'initie à la théorie des groupes, des concepts que je trouve bien abstraits particulièrement difficiles à appréhender parfois mais intéressants et je souhaiterais savoir si j'ai bien tout compris.

Soit G1 le groupe additif Z/15Z, et G2 le groupe additif Z/7Z.
15Z est l'ensemble des entiers relatifs multiples de 15.
Et Z/15Z est le groupe quotient est composé de 15 éléments: ceux divisibles par 15, ceux dont le reste dans la divisions euclidienne par 15 est 1, ceux pour lesquels le reste est 2, etc

1). Quel est l’ordre de 3 ("3 barre") dans G1 ?
ordre=3/pgcd(3,15)=3/3=1

Pour les questions suivantes je me demande ce que l'on entend par "décrire un sous groupe": Donner le nombre d'éléments du sous groupe ?

2). Décrire tous les sous-groupes de G1.

3). Décrire tous les sous-groupes du groupe produit G1xG2.

[mrif]

La formule que tu as appliquée dans 1) n'est pas correcte. L'ordre de est 15/pgcd(15,3)=5.
D'ailleurs si c'était 1 on aurait

Decrire veut dire définir tous les sous groupes c'est à dire donner toutes les parties de Z/15Z qui sont des groupes

[ArtyB]

Ah oui au temps pour moi, je trouvais ça étrange aussi d'avoir l'ordre égal à 3...

Merci, je vais m'appliquer à les décrire alors et je reviendrai après.

Petite question sans rapport: quel éditeur latex gratuit et en ligne me conseillez vous ?

[ArtyB]

Me revoilà:
2) Décrire tous les sous-groupes de G1.

Parce que G1 est cyclique d'ordre 15, l'ensemble des diviseurs positifs de 15 est en bijection avec l'ensemble des sous-groupes de G1,
i.e. si d divise 15, il existe un unique sous groupe Hd de G1 d'ordre d et il est formé des éléments x de G tel que dx=0 barre.

Soit:
H1={0}
H3={0,5,10}
H5={0,3,6,9,12}
H15=G1

avec des barres partout pour les nombres entre accolades.

[mrif]

Me revoilà:
2) Décrire tous les sous-groupes de G1.

Parce que G1 est cyclique d'ordre 15, l'ensemble des diviseurs positifs de 15 est en bijection avec l'ensemble des sous-groupes de G1,
i.e. si d divise 15, il existe un unique sous groupe Hd de G1 d'ordre d et il est formé des éléments x de G tel que dx=0 barre.

Soit:
H1={0}
H3={0,5,10}
H5={0,3,6,9,12}
H15=G1

avec des barres partout pour les nombres entre accolades.

Oui c'est ça.
Pour le Latex, je n'en ai aucune idée, désolé.

[ArtyB]

Merci !
Pas de souci pour le Latex.

Question 3 maintenant: Décrire tous les sous-groupes du groupe produit G1xG2

Soit G=G1xG2, G est cyclique d'ordre 7*15=105 et on refait le même raisonnement que précédemment ?

[MouLou]

Moi je suis sur Texshop et j ai pas a m en plaindre.

[ArtyB]

Merci MouLou !

Concernant la question 3, suis-je correct dans mon raisonnement ?

[MouLou]

Oui, ca revient à caluler les sous groupes de .

Tant que tu es conscient que c'est ça pour la suele raison que 15 et 7 sont premiers entre eux alors c'est parfait

[ArtyB]

Merci de ta réponse MouLou.
Mais du coup ça en fait plein des sous groupes ça:
c'est bien ça ?

[MouLou]

et H105 oui

[ArtyB]

Ah oui au temps pour moi, j'ai oublié le plus évident héhé.
C'est tout ce qu'il faut faire ? Ca me paraît trop simple haha

[zygomatique]

voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_direct_(groupes)

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