Théorie des ensembles

[Ludo1be]

Bonjour,

Comme exercice dans mon cours, j'ai une démo à faire, j'y suis arrivé d'une certaine façon et ai essayé d'une autre façon (qui me semblait correcte aussi) mais ça ne passe pas! :mur:

Alors,
Soit A,B, C des sous-ensembles de E.
Soit A\B la différence de A et B (A)
= Complémentaire de A

Mon prof me demande de dire que:
(A\B)\C = A\(BC)

Pour ce faire, j'ai fait de la sorte:
(A\B)\C
= (A)
Par associativité de :
= A()
Par la loi de De Morgan,
= A
= A\ (BUC)

Là ça va.

Mais avant j'ai essayé comme ça mais ça ne va pas...
Déjà, avant toute chose, est ce que: (AB)C = (CA)(CB)
?

Car je l'ai utilisé dans ma démo et voilà ce que ça donne:
(A\B)\C
= (A)
= ()(A)
= (A)
=(A)\(BUC)

Et donc ça ne va pas... :marteau:

Énorme merci à celui qui saura m'aider, cette question me taraude depuis tantôt!

[arnaud32]

Tu as juste 3 écritures du même ensemble

[Ludo1be]

Tu as juste 3 écritures du même ensemble

:hein: Ça ne répond pas trop à ma question

[kevtje]

Le principe Ludo c'est que, si tu vois ta réponse finale, tu remarque que tu as la formule de (A/C) en changeant le A et le C de place. Ainsi, tu as (A/C)/BUC or, tu remarque que C est inclus dans BUC donc, retirer C et retirer BUC n'ajoute rien en plus que si tu avais seulement retirer BUC donc, ton /C disparais et tu obtiens la réponse demandée :we:

[Ludo1be]

Le principe Ludo c'est que, si tu vois ta réponse finale, tu remarque que tu as la formule de (A/C) en changeant le A et le C de place. Ainsi, tu as (A/C)/BUC or, tu remarque que C est inclus dans BUC donc, retirer C et retirer BUC n'ajoute rien en plus que si tu avais seulement retirer BUC donc, ton /C disparais et tu obtiens la réponse demandée :we:

Aussi tout simplement (merci!), mais juste comme ça, la distributivité ne marche plus s'il y a que des ?
Il faut au moins un pour qu'elle puisse s'appliquer?

[Skullkid]

Ce qu'arnaud te dit c'est que ton deuxième calcul est correct, mais tu ne l'as pas mené de sorte à tomber sur l'écriture que tu voulais obtenir.

Intuitivement, A\B c'est l'ensemble A auquel on retire tous les éléments de B. Donc (A\B)\C c'est l'ensemble A\B auquel on retire les éléments de C, c'est-à-dire A auquel on retire les éléments de B et les éléments de C, c'est donc bien A auquel on retire les éléments de BUC.

Dans ton deuxième calcul, tu obtiens (A\C)\(BUC), c'est-à-dire A auquel on retire les éléments de C, de B et de C, c'est-à-dire de BUC. C'est donc bien le bon ensemble, mais il est écrit d'une façon un peu compliquée. À partir de la deuxième ligne de ton deuxième calcul :

(Cc inter Bc) inter (Cc inter A) = (Cc inter Bc inter Cc) inter A = A inter (Bc inter Cc) = A inter (BUC)c

(A inter B) inter C est bien égal à (A inter C) inter (B inter C), mais c'est une façon inutilement compliquée d'écrire cet ensemble, puisque C apparaît deux fois et que tu n'as que deux intersections. Peu importe le nombre de fois où tu intersectes un ensemble avec lui-même, le résultat sera toujours l'ensemble de départ.

[Ludo1be]

Super pour ta réponse, j'ai enfin compris.

La distributivité peut donc s'appliquer même s'il y a que des .
Au final, ma première démo est nettement plus simple que la seconde même si elle restait vraie (bien que tirée par les cheveux :p)

Grâce à toi, j'ai quand même vu comment retomber sur le résultat final (grâce à l'associativité).


Merci à tous!
Bonne fin de soirée