Bonjour à tous,
Nous avons prouvé en cours de calcul différentiel une version "faible" du théorème du rang constant :
Soit
de classe
et soit
tel que
soit surjective. Alors, il existe un voisinage ouvert de
, un ouvert
de
et un difféo
tels que
 = (x_1,...,x_m))
.
Pour prouver cela, on commence par dire que, comme la différentielle en
est de rang
, on peut, quite à remplacer
par
(où
est un automorphisme de
et
un automorphisme de
), supposer que la jacobienne de
en
est de la forme
où
)
est inversible et où
)
(ce qui revient à faire un changement de base au départ et à l'arrivée).
Ensuite, on prouve le théorème dans ce cas (pas de problème à ce niveau là).
Simplement, je ne comprends pas comment se ramener ensuite au cas d'une fonction
"quelconque" (i.e. sans cette simplification).
Si je pose
, alors, le théorème est prouvé pour
. J'ai donc un voisinage
})
de
)
, un ouvert
de
et un difféo
})
tel que
= (x_1,...,x_m))
. En posant
et
}))
(voisinage ouvert de
car
automorphisme), j'ai un difféo
(car un automorphisme est aussi un difféo et que la composée de deux difféos est encore un difféo) tel que
 = (x_1,...,x_m))
. Mais comment se débarrasser du
?
Le problème de ce genre de simplification, c'est qu'à chaque fois on écrit "quite à remplacer truc par machin, on suppose que ...", sans jamais détailler comment on se ramène au cas général... Du coup je pense que de toute ma scolarité je n'ai jamais vu ce genre de choses rédigée "proprement"
