Théorème de lagrange

[zork]

Bonjour,


Soient G un groupe fini, K et M 2 sous-groupes de G d'ordres k et m. Si k et m sont premiers entre eux étudier l'intersection de K et M.


voici la solution:
K inter M est un sous groupe de K et M. D'après le th de lagrange son ordre divise k et m
On a donc [K inter M:1]=1. On en déduit que K inter M={e}


Pourquoi a t on [K inter M:1]=1, d'où vient [K inter M:1]?
et comment déduit-on que K inter M={e}?

d'autre part, quel est le lien entre l'ordre et l'indice?


merci

[Nightmare]

Hello,

c'est bizarrement rédigé. Si son ordre divise k et m, ces derniers étant premiers entre eux, l'ordre est donc 1 et donc le groupe est réduit au singleton #e}.

Même si c'est vrai que cela implique aussi que l'indice de K inter M par rapport à {e} vaut 1, ce n'est certainement pas utile de l'écrire.

Sinon, le lien entre l'ordre et l'indice pour un groupe fini est simple : [G:H]=|G|/|H|

[zork]

mais pourquoi si on a un ordre de 1 a-t-on forcément le groupe réduit à {e}?

[Nightmare]

Eh bien, tu vois d'autres sous-groupes d'ordre 1 que {e}?

[zork]

Mais si {e} est un groupe, pourquoi {1} ou {4} ne serait il pas des groupes?
Le singleton {e} ne vérifie pas les axiomes d'un groupe car il n'y a qu'un élément?

[Nightmare]

On ne parle pas de groupes mais de sous-groupes ici. Je te rappelle que pour être un sous-groupe, il faut dans un premier temps contenir le neutre du groupe.

Donc si on est un sous-groupe et qu'on a qu'un élément, on est forcément le groupe qui contient l'élément neutre.

[zork]

d'accord merci pour ton aide