Je bloque sur l'exo suivant : :happy3:
Soit
Application :
J'ai réussi à faire
Pour
On pose :
Alors :
Donc :
Pour
Après, qu'est ce qu'on fait ?
On nous demande de montrer que les racines de
On a :
i.e :
Par contre, pour
Merci de m'aider ! :happy3:
Théorème de Gauss - Lucas !
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Théorème de Gauss - Lucas !
par barbu23 » 21 Jan 2010, 20:28
Bonsoir : :happy3:
Je bloque sur l'exo suivant : :happy3:
Soit
de racines : 
avec les multiplicités 
.
 \ \ $)
Décomposer en éléments simples : 
.
 \ \ $)
En deduire que les racines de 
sont dans l'enveloppe convexe de .
Application :
 \ \ $)
Soit 
un demi plan complexe et 
un polynôme non constant tel que $)
. Montrer que l'application 
est surjective.
J'ai réussi à faire
et 
, mais 
, non !
Pour
:
On pose :
 = (z - z_{1})^{m_{1}}(z - z_{2})^{m_{2}} ... (z - z_{n})^{m_{n}} $$)
Alors :
 = \displaystyle \sum_{i =1}^{n} (\frac{m_{i}}{z-z_{i}} P(z)) = [\displaystyle \sum_{i =1}^{n} (\frac{m_{i}}{z-z_{i}}) ] P(z)$$)
Donc :
}{P(z)} = \displaystyle \sum_{i =1}^{n} \frac{m_{i}}{z-z_{i}} $$)
Pour :
}{P(z)} = \displaystyle \sum_{i =1}^{n} \frac{m_{i}}{z-z_{i}} = \displaystyle \sum_{i =1}^{n} \frac{m_{i}\overline{z-z_{i}}}{|z-z_{i}|^{2}} $$)
Après, qu'est ce qu'on fait ?
On nous demande de montrer que les racines de
( et non de comme j'ai écrit au départ, c'est pourquoi, j'avais du mal à repondre à la question ) sont dans l'enveloppe convexe de : :
On a :
 = 0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{i =1}^{n} \frac{m_{i}\overline{z-z_{i}}}{|z-z_{i}|^{2}} = 0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \displaystyle \sum_{i =1}^{n} \frac{m_{i}}{|z-z_{i}|^{2}} \vec{ZZ_{i}} = 0 $$)
i.e :
 $$)
Par contre, pour, je ne sais pas comment m'y prendre ! :happy3:
Merci de m'aider ! :happy3:
Je bloque sur l'exo suivant : :happy3:
Soit
Application :
J'ai réussi à faire
Pour
On pose :
Alors :
Donc :
Pour
Après, qu'est ce qu'on fait ?
On nous demande de montrer que les racines de
On a :
i.e :
Par contre, pour
Merci de m'aider ! :happy3:
par barbu23 » 21 Jan 2010, 20:29
Pour , voiçi ce que j'ai tenté, mais ça n'aboutit pas : :happy3:
Soit :
:
On pose : = P(z) - u $)
Donc : = P'(z) $)
Puisque $)
, alors : 
:  = Q'(a) = 0 $)
Soit :
On pose :
Donc :
Puisque
par Ben314 » 21 Jan 2010, 20:39
Salut,
Je suppose que ton demi-plan est vectoriel (c'est à dire passe par 0).
Tu considère un complexe a fixé et le polynôme P_a(X)=P(X)-a.
Quelle est sa dérivée ? Par hypothèse, qui est zéro de la dérivée de P_a ?
Que peut on en déduire concernant l'enveloppe convexe des zéros de P_a ?
Conclusion.
Edit : j'avais pas lu ton dernier post, c'est bon, mais faudrait penser à utiliser le 2)...
Je suppose que ton demi-plan est vectoriel (c'est à dire passe par 0).
Tu considère un complexe a fixé et le polynôme P_a(X)=P(X)-a.
Quelle est sa dérivée ? Par hypothèse, qui est zéro de la dérivée de P_a ?
Que peut on en déduire concernant l'enveloppe convexe des zéros de P_a ?
Conclusion.
Edit : j'avais pas lu ton dernier post, c'est bon, mais faudrait penser à utiliser le 2)...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par barbu23 » 21 Jan 2010, 20:46
Ben314 a écrit:Par hypothèse, qui est zéro de la dérivée de P_a ?
c'est le même zero que de
par barbu23 » 21 Jan 2010, 20:49
Ben314 a écrit:Que peut on en déduire concernant l'enveloppe convexe des zéros de P_a ?
Conclusion.
ça , je ne sais pas ! :happy3:
par Ben314 » 21 Jan 2010, 20:59
Comme 0 est un zéro de la dérivée de P_a, tu en déduit que l'enveloppe convexe des zéros de P_a contient le complexe 0.
Les zéros de P_a peuvent ils être tous dans le même demi plan délimité par une droite passant par 0 ? (fait un dessin !!!)
Les zéros de P_a peuvent ils être tous dans le même demi plan délimité par une droite passant par 0 ? (fait un dessin !!!)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par barbu23 » 21 Jan 2010, 21:01
Ben314 a écrit:Comme 0 est un zéro de la dérivée de P_a, tu en déduit que l'enveloppe convexe des zéros de P_a contient le complexe 0.
Les zéros de P_a peuvent ils être tous dans le même demi plan délimité par une droite passant par 0 ? (fait un dessin !!!)
Ben, comment sais tu que
Merci d'avance ! :happy3:
par Ben314 » 21 Jan 2010, 21:08
T'as pas l'impression que le "a" disparait un tout petit peu à la dérivation ?barbu23 a écrit:Ben, comment sais tu que?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 21 Jan 2010, 21:17
Effectivement, j'avais mal lu l'énoncé et j'avais cru lire P'(0)=0 là ou il est écrit )
. Désolé... 
Il faut donc faire légèrement plus fin (mais pas beaucoup)
A+ (je vais bouffer...)
Il faut donc faire légèrement plus fin (mais pas beaucoup)
A+ (je vais bouffer...)
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