Démonstration du théorème de Alembert-Gauss

[Viko]

Salut,

Aujourd'hui je suis tombé sur une preuve extrêmement élégante du théorème fondamental de l'arithmétique(Tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine complexe.) qui est la suivante :

Soit P un polynôme de degrés supérieur ou égal à 1 on suppose que P n'admet pas de racine la fonction rationnelle 1/P est alors défini sur ,entière (holomorphes sur ) et bornée ainsi en vertu du théorème de Liouville (toute fonction entière défini sur est constante si elle est bornée) on en déduit que 1/P est constante et donc que P est constant or P un polynôme de degrés supérieur ou égal à 1 donc évidement P n'est pas constant il y'a contradiction, notre postulat d’origine de base est faux. P admet donc au moins une racine.

Hélas j'ai beau retourner le problème dans tout les sens je n'arrive pas à comprendre comment on en arrive à conclure que 1/P est bornée, quelqu'un pourrait donc éclairer ma lanterne ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Si n'admet pas de racines dans , alors il existe une constante telle que .
Ainsi, .

[Viko]

Évidemment ! Merci beaucoup !

[Arbre]

Salut,

@Nuggets : Quelles résultats, sur les polynômes, utilises-tu ?
En effet cela ne marche pas, dans le cas DSE, exp(z).

Cordialement.

[Arbre]

Sinon, à l'aide de la deuxiéme inégalité triangulaire : on peut s'en sortir :


Il existe M, tel que si |z|>M alors |P(z)|>1 (par exemple).
Donc |z|\leq M on est sur un compact et donc |P(z)|>a>0.

D'où le résultat espérer.

On a besoin ici de 3 ingrédients :

1/les 2 inégalités triangulaires

2/Un polynôme réel, à son rapport de plus haut degré qui domine en l'infini

3/Pour une fonction continue sur un compact le min est atteint, on dit que l'image d'un compact par une fonction continue est compact.

[Viko]

Aux dernières nouvelles exp(z) n'est pas un polynôme...
Le résultat de capitain nuggets découle simplement du fait que en un polynome a toujours une limite inifini en l'infini (preuve niveau première) de plus une foncion polynome étant continu sur son ensemble de définition il vient aisément que si un polynome n'admet pas de racine sur alors on a : et comme un tel polynôme n'admet pas de limite nul en un complexe ou en l'infini l'existence de la constante M de capitain nugget est indégnable

[Arbre]

1/Aux dernières nouvelles exp(z) n'est pas un polynôme...

2/Le résultat de capitain nuggets découle simplement du fait que en un polynome a toujours une limite inifini en l'infini (preuve niveau première)

3/de plus une foncion polynome étant continu sur son ensemble de définition il vient aisément que si un polynome n'admet pas de racine sur alors on a : et comme un tel polynôme n'admet pas de limite nul en un complexe ou en l'infini l'existence de la constante M de capitain nugget est indégnable

1/Oui, mais presque exp est DSE sur les complexes

2/Non, en première on le voit pour des polynômes réels ici c'est un polynome dans les complexes, donc cela resterait à justifier

3/Non, il ne vient pas aisément il y a derrière utilisation de la compacité, je pense que tu ne peux pas y couper, ou alors il faut me dire comment.

[Viko]

Alors pour les limites infinies de polynome dans C la preuve niveau premiere peut-être trés simplement adapté :
Soit P un polynome défini sur C a coefficients complexe, P est de la forme :

Il vient donc,


On a donc en l'infini :


Et donc

De plus j'en conviens tout à fait le développement en série entière de exp(z) est "presque" un polynôme mais on ne fait pas des maths avec des presque et des à peu prés le th est vrai pour les polynômes pas pour les "presques polynomes"

Enfin je ne vois pas ce qu'il ya à démontrer dans la partie "il vient aisément...." En effet il me semble évident que si une fonction est continu sur C et ne passe pas par 0 elle est soit strictement positive soit strictement négative je ne vois pas ce qu'il y a à démontrer de ce côté

PS : je n'ai pas la chance de savoir ce qu'est la compacité donc à moins que tu ne m'expliques de quoi il s'agit je ne pourrais par argumenter de ce côté

[Arbre]

Pour mettre les choses aux claires : la question que j'ai posée à Nuggets, n'est pas que réthorique (j'aimerais en avoir une réponse) et je n'ai rien contre toi, ni personne sur ce forum, mais il n'y a pas de raisons pour que je me laisse brimer.

Une fois ceci dit, faire tendre z en l'infini n'a pas de sens sur les complexes, à la limite sur le compactifié d'Alexandroff, mais alors quid des infinis (+ et -), il y a un seul infini.

Pour ce qui est du "il vient aisément", il n'y a pas de signe sur les complexes, il me semble d'ailleurs qu'il existe un résultat qui dit qu'il est impossible d'avoir une relation d'ordre totales compatible avec le corps des complexes, mais prend 1/(1+|z|) n'est jamais nul sur les complexes et y est continue, et pourtant on ne pas minorée le module, sur tout les complexes, par une constante strictement positive.

Pour ce qui est de la compacité, c'est une propriété centrale en topologie, ici un cours complet :

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~de ... ftimie.pdf

[Viko]

Merci pour le cours sur les compacts je m'y pencherais plus tard desolee si tu t'es senti brimé ce n'était pas duntout l'objectif ^^

Ta fonction f(z) = 1/(1+z) ne peut pas être minoré pour la simple est bonne raison qu'elle admet une limite nul en l'infini (lorsque le module de z temps vers l'infini si tu préfères) or comme je lnai montré dans le post précédent un polynôme qui n'admettrait pas re racine aurait pour limite l'infini en l'infini et ne vaudrait jamais 0
Ainsi : et ainsi le polynome P ne vaut jamais zéro est n'est jamais arbitrairement proche de zéro la quantité |1/P| est donc bel et bien minorable sur c de plus Je comprends bien que la notion d'infini est difficile à définir dans C mais si au lieu de considérer la limite lorsque z tends vers l'infini considérons plutôt la limite lorsque |z| tends vers l'infini cela règle le problème

[Arbre]

1/Merci pour le cours sur les compacts je m'y pencherais plus tard desolee si tu t'es senti brimé ce n'était pas duntout l'objectif ^^

2/ Je comprends bien que la notion d'infini est difficile à définir dans C mais si au lieu de considérer la limite lorsque z tends vers l'infini mais plutôt la limite lorsque |z| tends vers l'infini ce la règle le problème

1/Avec plaisir, pour ce qui est des brimades, je ne parlais pas que de toi, et nous n'avions pas encore atteint ce point ici, c'est pour cela que j'ai préfèré mettre les choses aux clairs.

2/Oui (cela revient à travailler avec le compactifié d'Alexandroff la sphére), mais pas totalement, pourquoi |P(z)| tendrait vers l'infini lorsque |z| tend vers l'infini, je pense que la deuxiéme inégalité triangulaire est indispensable.

[zygomatique]

de plus Je comprends bien que la notion d'infini est difficile à définir dans C mais si au lieu de considérer la limite lorsque z tends vers l'infini considérons plutôt la limite lorsque |z| tends vers l'infini cela règle le problème

il était évident que c'était sous-entendu ... mais il faut effectivement être sur que tout le monde sache de quoi on parle quand on dit ""z tend vers l'infini"" ...



...

[Arbre]

Tu as bien utilisé la deuxiéme inégalité triangulaire, pour passer de |s(z)|<1/2 à |1+s(z)|>|1-1/2| de maniére implicite.

[zygomatique]

je n'ai jamais dit le contraire ...

[Arbre]

Je tenais juste, à le souligner car cela ne sautait pas aux yeux.