Théorème des segments emboîtés et la propriété de la borne s

[Georges10]

Bonjour à tous,

Svp il y'a quelque chose que j'aimerais comprendre. Pourquoi dit-on que le théorème des segments emboîtés est équivalent à la propriété de la borne supérieure ?
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Merci d'avance et bonne journée à tous !

[aviateur]

Bonjour
C'est pas forcément un résultat particulièrement connu. Donc si l'auteur dit cela c'est que l'un implique l'autre et vice versa.
En cas de doute faire la démo.
A la louche, j'ai regardé cela me semble bien vrai.

[Ben314]

Salut,

Pourquoi dit-on que le théorème des segments emboîtés est équivalent à la propriété de la borne supérieure ?

Ben... parce qu'ils sont effectivement équivalent pardi !!!
Si tu considère comme acquises (i.e. comme vraie) sur R les différentes "propriété algébriques", c'est à dire du style A(B+C)=AB+AC ; Si A>B et C>0 alors AC>BC, etc...
Alors uniquement avec ces propriétés là, tu ne peut démontrer aucun des résultats suivants :
- Toute suite croissante et majorée admet une limite.
- Toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.
- Toute intersection de segments emboîtés est non vide.
- Toute suite de Cauchy est convergente (ça je pense que tu ne sait pas ce que ça signifie pour le moment)
Par contre, si tu suppose qu'un (quelconque) de ces 4 résultats est vrai, alors tu peut démontrer que les 3 autres sont aussi vrai. Bref, ces 4 résultat là sont équivalents et, intuitivement parlant, ils disent la même chose : dans R, il n'y a pas "de trou".

Et si la propriété des segment emboîtés est si importante, c'est du fait que chacune de ces 4 propriétés peut s'énoncer dans des espaces "plus gros" que R, mais que celle qui se "généralise le plus", c'est plutôt celle là : tu verra dans un bon moment qu'on l'énonce en terme d'espace topologique sous la forme "Dans un espace topologique compact, toute intersection décroissante de fermés non vides est non vide" (et dans R, ça peut plus ou moins s'énoncer en disant que "R est localement compact")