Segments emboités

[houssamhoussni]

Bonjour chers frères
Qqn peut-il me fournir une application du théorème des segments emboités dans l analyse et son utilité!
merci d avance!

[aviateur]

Bonjour

Théorème des segments emboités

Tu peux le citer (personnellement je ne sais pas ce que cela veut dire!)

[Ben314]

Salut,
Le "théorème des segments emboités", ça traduit le fait que R est localement compact et c'est quasiment la même chose que le "théorème des gendarmes ou que celui des suites adjacentes (on passe de l'un à l'autre en quelque lignes) :
L'intersection de toute suite décroissante (pour l'inclusion) de segments (*), est un segment (donc non vide) (et si on rajoute l'hypothèse que la longueur des segments tend vers 0, alors on a comme conclusion que l'intersection des segments est réduite à un point et c'est presque la même chose que le théorème des gendarmes)

Sinon, concernant le "à quoi ça sert", ben c'est une des différentes formulations (équivalentes) qui disent au fond que dans R, il n'y a pas "de trou".
Si tu admet que le théorème qui dit que "toute suite croissante et majorée est convergente" est vrai alors tu peut démontrer que le théorème des segments emboités est aussi vrai. Et réciproquement, si tu admet que le théorème des segments emboités est vrai alors tu peut démontrer que "toute suite croissante et majorée est convergente".

Après, dans les exercices, que tu utilise l'un ou l'autre (suites croissante et majorées ou bien Th. des segmets emboités), ça va pas changer grand chose vu que ça dit quasiment la même chose (qui dit quasiment la même chose que le Th. sur les suites adjacentes qui dit quasiment la même chose que le fait que "R est complet" sauf que ça, tu sait pas ce que ça veut dire...)

(*) i.e. d'intervalles fermés bornés.

[aviateur]

Bon je ne savais pas que cette propriété était un théorème.
En lui-même, ce n'est pas ce théorème qui est important, c'est ce qu'il y a en amont c'est à dire la définition ou sa construction de R.
Mais si on veut lui donner un intérêt je pense à la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (via la méthode de Dichotomie et donc il y a des segments emboités ) qui lui est très important en analyse.