Theoreme de Bolzano-Weierstrass

[Anonyme]

Bonsoir et bon vacance pour tous le monde

en fai, j'ai une petite question à vous poser;
a QUOI ça sert le theoreme de bolzano Wierstrass ? c'est a dire est ce qu'il a des applications directe dans les exercices ou bien il est là pour faire jolie et pour emmerder les etudiants qui preparent leurs colles.
si oui , est ce que vous pouvez me donner des exemples de son applications..
MERCI

[Frangine]

Essaye de chercher sur Google

exercice Bolzano Weierstrass

ou

utilisation Bolzano Weierstrass

tu trouveras peut-être une ou des réponse(s)

[quinto]

il est là pour faire jolie et pour emmerder les etudiants qui preparent leurs colles.

C'est pas très constructif comme remarque.
Le théorème de B-W est un des théorèmes les plus importants en analyse...

[hans]

Si tu veux savoir il permet déjà de démontrer le théorème de Heine, qui montre que toute fonction continue sur un segment est uniformément continue, et ca c'est la source de tous les théorèmes d'approximation, et ca aboutit aux séries de Fourier qui sont extremement utiles en physique.
Il permet aussi de démontrer qu'une suite converge sans connaitre sa limite.

Ce qui permet de démontrer Bolzano-Weierstrass (l'Axiome du choix) est une notion très importante pour les maths fondamentales.

[Zebulon]

Bonsoir,
vérifiez si je ne dis pas de bêtise mais si je me souviens bien, si X est un espace séparé et métrique, alors dire que le théorème de Bolzano-Weierstrass est vrai dans X est équivalent à dire que X est compact. C'est ainsi qu'on montre que si une application est continue d'un espace métrique compact vers un espace métrique, alors elle y est uniformément continue (théorème de Heine généralisé).
Donc non, ce n'est pas seulement pour embêter les taupins en colle, mais juste pour faire de jolies maths :we: !
Bonne soirée et à bientôt,
Zeb.

[Anonyme]

merci biens merci je crois que je suis perdu avec toutes ces nouvelles notions.
etant donné que suis encore en spé , j'ai pas encore etudié l'axiome du chois, serie de fourier...etc. est ce qu'on aura pas d'exercice d'application de ce théoreme en sup???

merci encore

[quinto]

Bonsoir,
vérifiez si je ne dis pas de bêtise mais si je me souviens bien, si X est un espace séparé et métrique

Un espace métrique est toujours séparé.
A+

[Zebulon]

Un espace métrique est toujours séparé.
A+

Exact. En fait j'ai retrouvé la proposition exacte:
Soit X un espace topologique séparé, alors:
i) Si X est compact alors le théorème de Bolzano-Weierstrass est vrai
ii) Si X est métrique et BW est vrai, alors X est compact.
A bientôt,
Zeb.

[Anonyme]

Ou intervient l' axiome du choix dans BW dans IR ? Il sert aussi a montrer que l' image d' un segment par une fct continue est un segment.

[Zebulon]

Bonjour,
si je me souviens bien et pour dire les choses très très rapidement et vaguement (ça remonte quand même à deux ans et demi et on oublie vite malheureusement) dans la preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, on considère des intervalles emboîtés d'une certaine manière. A chaque étape, tu as un élément de la sous-suite que tu construis qui est soit dans un intervalle, soit dans l'autre. Ensuite il y a une histoire de choix dans un ensemble fini ou dans un ensemble infini, etc...
Si quelqu'un pouvait passer derrière moi pour éclaircir tout ça, ça raffraîchira ma mémoire au passage...!
Zeb.

[quinto]

En fait on a mêmes les équivalences suivantes:

X est compact (ie de tout recouvrement d,ouverts, on peut en extraire un sous recouvrement fini)
X est séquentiellement compact (ie vérifie la propriété de B-W)
X est précompact et complet.

Dans le cas où X est métrisable.

Il est clair que compact implique séquentiellement compact, et ca sert souvent de contraposée.
A+