Théorème sur les suites extraites

[MC91]

Bonjour,

J'aurai aimé avoir quelques précisions sur un théorème.
Dans mon cours, on parle du "théorème sur les suites extraites d'indices pairs ou impairs" : si les 2 suites U2n et U2n+1 sont convergentes et convergent vers la même limite, alors le suite Un converge vers cette limite.

Je me demandais si ce théorème marchait uniquement pour les suites extraites d'indices pairs ou impairs, autrement dit si on trouve deux suites extraites de Un, par exemple Un+2 et U3n, qui convergent vers l, est ce que Un converge aussi vers l?

Les deux suites extraites choisies doivent elles, si on les additionne, former Un?

Merci de m'éclairer sur ce sujet, c'est un peu flou pour moi.

Bonne journée.

[SimonB]

Bonjour,

Déjà, si converge, c'est direct que aussi (pourquoi ?).

Maintenant, ce qui fait marcher le théorème des suites extraites d'indices pairs ou impairs, c'est que tu récupères TOUS les termes de la suite (ceux d'indices pairs et impairs respectivement) qui vont se rapprocher de la limite. Si tes suites extraites sont quelconques, ça ne peut pas marcher : par exemple, si tu prends la suite définie pour tout par (vérifier que cela définit bien la suite ), tu auras et qui convergent vers la même limite, mais ce ne sera pas le cas de (pourquoi ?).

En revanche, tu peux fabriquer (et prouver) un théorème ad hoc du type : si , et sont convergentes et ont la même limite, alors est convergente et converge également vers cette limite. Je t'invite à faire cet exercice. Et puis tu pourras voir si tu peux généraliser ça.

[MC91]

Bonjour,

Déjà, si converge, c'est direct que aussi (pourquoi ?).

Maintenant, ce qui fait marcher le théorème des suites extraites d'indices pairs ou impairs, c'est que tu récupères TOUS les termes de la suite (ceux d'indices pairs et impairs respectivement) qui vont se rapprocher de la limite. Si tes suites extraites sont quelconques, ça ne peut pas marcher : par exemple, si tu prends la suite définie pour tout par (vérifier que cela définit bien la suite ), tu auras et qui convergent vers la même limite, mais ce ne sera pas le cas de (pourquoi ?).

En revanche, tu peux fabriquer (et prouver) un théorème ad hoc du type : si , et sont convergentes et ont la même limite, alors est convergente et converge également vers cette limite. Je t'invite à faire cet exercice. Et puis tu pourras voir si tu peux généraliser ça.

Merci beaucoup pour cette réponse qui a parfaitement répondu à ma question. C'est nettement plus clair.
Reste à m'exercer maintenant.

Bonne journée, à bientôt.

[MC91]

Bonjour,

Déjà, si converge, c'est direct que aussi (pourquoi ?).

Ca semble clair quand on fait la limite en +infini, mais j'aimerai quand même avoir ton explication là dessus....

Merci d'avance.

[Luc]

Ca semble clair quand on fait la limite en +infini, mais j'aimerai quand même avoir ton explication là dessus....

Merci d'avance.

Quels sont les termes de la suite ?

[Anonyme]

@MC91
Essaie de retrouver dans ton cours de maths la définition d'une suite extraite
Cela d'aidera certainement à comprendre beaucoup de choses...

Théorèmes importants à connaitre (selon moi)

1) Toute suite extraite d'une suite convergente (qui converge vers L) converge vers L

2) si les 2 suites extraites et convergent vers une même limite L alors la suite converge vers L

3) si les 2 suites extraites et convergent vers des limites différentes alors la suite ne converge pas
Exemple classique : la suite telle que

Exercice
Est ce que la suite telle que converge ?
Est ce que la suite telle que converge ?

[Luc]

Petit exercice pour poursuivre ce qui a été dit et vérifier la compréhension.

Soit une suite à valeurs réelles, et un réel.
On suppose que pour tout entier , converge vers .
converge-t-elle vers ?

[SimonB]

Un peu plus subtil :

Soit telle que et sont convergentes. Montrer qu'alors converge.

[Luc]

Un peu plus subtil :

Soit telle que et sont convergentes. Montrer qu'alors converge.

Ça marche aussi avec et :we:

[MC91]

Bon, je pense qu'avec tout ça les suites extraites sont un peu plus claires !
Merci encore.

Bonne soirée.

[Anonyme]

@MC91
Si ce n'est pas trop indiscret , peux tu expliquer/argumenter rapidement ta réponse à

Soit telle que et sont convergentes. Montrer qu'alors converge.

[Nightmare]

Hello,

il suffit de montrer que u(2n) et u(2n+1) ont la même limite. Pour ça, raisonne sur des suites extraites.

[Anonyme]

@MC91
OK à toi d'expliquer pour vérifier que tu as bien compris