Taylor
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zork
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par zork » 21 Fév 2012, 17:57
bonjour,
en utilisant taylor avec reste intégrale, et x>=0 montrer que
avec la formule j'arrive à
 ( \frac {t} {4}) (1+tx)^{-3/2} dt)
je trouve la positivité mais pas le majorant car j'arrive à
 ( \frac {t} {4}) (1+tx)^{-3/2} dt<= \frac {x^2} {4} (1+x)^{-3/2})
comment avoir le 8 au dénominateur? j'ai essayé de montrer que
^{3/2})
mais ce n'est pas toujours vrai
2) déduire une approximation de
à 10^(-4) près en posant x=1/49
j'arrive à
mais dois je m'occuper du minorant? et cela suffit il pour l'approximation?
merci
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barbu23
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par barbu23 » 21 Fév 2012, 18:43
Bonjour, :happy3:
On procède étape par étape, pour ne pas se perdre :
Tu écris d'abord, le développement de Taylor avec reste intégral, à l'ordre de
, de la fonction
au voisinage de
.
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zork
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par zork » 21 Fév 2012, 18:49
j'ai:
 \frac {-t} {4} (1+tx)^{-3/2} dt)
 \frac {t} {4} (1+tx)^{-3/2} dt)
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barbu23
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par barbu23 » 21 Fév 2012, 19:01
Il me semble qu'il faut appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale sur l'intervalle
avec
, non ???
Donc, on obtient :
 = f(0) + xf'(0) + \int_{0}^{x} (x-t) f''(t) dt $)
 \times \Big( - \frac{1}{4} ( 1+t )^{- \frac{3}{2}} \Big) dt $)
C'est à dire :
 ( 1+t )^{- \frac{3}{2}} dt $)
Ensuite, tu appliques une majoration au terme :
 ( 1+t )^{- \frac{3}{2}} dt $)
pour tout
.
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zork
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par zork » 21 Fév 2012, 19:08
:mur: c'est toi qui a raison je me suis trompé de borne
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barbu23
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par barbu23 » 21 Fév 2012, 19:15
C'est pas grave.
Voici ce qu'il faut faire par la suite :
On trouve que :
 ( 1+t )^{- \frac{3}{2}} dt $)
Montrer que :
revient à montrer que :
 ( 1+t )^{- \frac{3}{2}} dt \leq \frac{x^{2}}{8} $)
C'est à dire que cela revient à montrer que :
 ( 1+t )^{- \frac{3}{2}} dt \leq \frac{x^{2}}{2} $)
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barbu23
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par barbu23 » 21 Fév 2012, 19:27
Pour montrer cette double - inégalité, voici ce qu'il faut faire :
:
^{ \frac{3}{2} }} \leq 1 $)
:
^{- \frac{3}{2} } \leq 1 $)
Donc :
:
 (1+t)^{- \frac{3}{2} } \leq (x-t) $)
C'est à dire :
 ( 1+x )^{- \frac{3}{2} } \leq \int_{0}^{x} (x-t) dt $)
Tu termines le calcul ... :happy3:
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