Formules de taylor et mac laurin

[anna12]

bonjour,

j'ai un ami qui ne comprend pas les formules de tylor et de McLaurin, et je n'arrive pas à lui expliquer simplement... et le fait que je n'arrive pas à le transmettre montre que je ne l'ai pas encore parfaitement assimilé ? :hum:

alors je voudrais savoir si l'un d'entre vous pourrait nous expliquer ces deux formules :happy2:

merci de vos réponses

[fahr451]

de quelle formule de taylor parles tu ? parles tu de développement limité ?

[anna12]

hm, sorry pour le manque de précision :

si f est (n+1) fois dérivable dans ]a,b[ et si x0 appartient à ]a,b[, alors pour tout x appartenant à ]a,b[ il existe c comrpis entre x et x0 tel que ... et là, "formule monstre" (je me suis arrêtée plus 'dun an après le bac S spé math avant de reprendre les études, et c'est dur :-p) :
f(x) = somme pour k=0 jusque n de f(k)(x0) / k! * (x-x0)^k + blablablabla ^^

et Mac Laurin : dans le cas particulier où x0 = 0

[fahr451]

hum le "blablabla" en question s 'appelle le reste

et c 'est lui qui détermine de quelle formule de taylor il s ' agit

ici c 'est la formule de taylor lagrange

que dire de cette formule ?
1) la connaitre

2) savoir qu'elle permet de comparer les valeurs de f en x0 et en x

en utilisant les dérivées de f en x0 ( et en un autre point c )

[anna12]

alors je vais certainement poser une question plus stupide... concrètement, elle me sert à quoi cette formule ? a quoi cela servirait-il de comparer les valeurs de f en x0 et x ?

[fahr451]

une réponse pourrait être : à faire des maths


cette formule est fondamentale en analyse elle généralise le théorème des accroissements finis.

je ne peux pas en dire plus sans exemple précis.

[Joker62]

Au pire elle sert dans les développements limités
Qui servent à rendre la vie plus facile :)

[fahr451]

dans les dls on utilise taylor young : formule locale x et x0 sont "proches"
la formule de taylor lagrange est "globale" x et x0 sont a priori éloignés.

[anna12]

bein en fait j'ai vraiment un problème je crois.

j'ai tout oublié en math. je pensais pas que c'était possible après tant de math au lycée, mais quand on ne calcule ni limite, ni dérivée, quand on entend plus parler de fonction, de convergence, de serie, de suite etc etc pendant 2 ans... bein on ne sait même plus dériver une fonction un peu subtile...
ni lever les cas indéterminés de limite.

pourtant en cours de math, je comprends ce que raconte le prof (pour l'instant c'est surtout du rappel de terminale), mais au moment de passer à l'exo, bein... ça ne vient plus.
Je n'ai jamais fait d'exos à la maison (bien que j'avais au dessus de 16 au lycée) et je suis incapable de m'y mettre pour m'entraîner. demain vient un contrôle imoprtant. et en fait, je crains une belle catastrophe. j'aurais besoin que toutes les bases rentrent dans ma tête again.

et je commence à en avoir honte...


Edit. : est-ce que par hasard vous auriez des formules de bases avec un rappel complet de toutes les bases jusque fin TS ? (sans forcément avec explications, ça, ça va encore)

[fahr451]

si tu as des questions précises ou exos précis n'hésite pas .

[anna12]

allez, une question. si on pose comme énoncé "étudiez la fonction f(x) = bla"

que doit-on raconter ?

- domaine de def, continuité, dérivée
- limite aux bornes de l'intervalle du domaine d'étude
- allure de la courbe (donc pour ça dérivée et graphique ?)
- s'il y a un minimum, un maximum, une asymptote


...est-ce une liste exhaustive ? ou ai-je oublié des choses ?

[fahr451]

parité, symétries pour réduire le domaine d étude

[andros06]

Pour en revenir à Taylor,
ça te sert à définir les différences finies qui te servent pour la résolution numériques d'EDP (Equation des ondes, chaleur ...). Je pense que c'est assez concret comme utilisation .
;)

[fahr451]

oui; c'est plutôt TY dans ce cas là : approximation numérique des dérivées en un point.

[fahr451]

allez un joli exo sur la formule de taylor

f est n fois dérivable , on suppose que f et f^(n) ont des limites finies en +infini; montrer que f ' , f " ,...,f^(n-1) également.

[yos]

Je vois ça comme ça :

En première S tu avais f(x)= ax+b+R(x) avec R(x) qui tend vers 0 en . On disais alors que ax+b est une approximation affine locale de f(x).

Aujourd'hui tu as f(x)=P(x)+R(x) avec P(x) un polynôme et R(x) le reste de Lagrange ou autre; tu as une approximation polynomiale locale de f(x) par le polynôme f(x). C'est une généralisation de l'approximation vue au lycée, avec un contrôle de l'erreur (du reste) en plus.

[fahr451]

dans la version locale oui ( TY) ; taylor lagrange, comme taylor reste intégrale, est globale

[mathelot]

bonsoir,
grosso modo, les formules de Taylor-MacLaurin et reste intégral servent à approximer une fonction par un polynome en contrôlant l'approximation.
Taylor-Young fournit juste l'existence d'un développement limité.
Sinon , historiquement Taylor a introduit les développements en série des fonctions et c'est Cauchy qui a plus tard formalisé tout ça.

[anima]

allez, une question. si on pose comme énoncé "étudiez la fonction f(x) = bla"

que doit-on raconter ?

- domaine de def, continuité, dérivée
- limite aux bornes de l'intervalle du domaine d'étude
- allure de la courbe (donc pour ça dérivée et graphique ?)
- s'il y a un minimum, un maximum, une asymptote


...est-ce une liste exhaustive ? ou ai-je oublié des choses ?

- Parité, périodicité
- Asymptote oblique ou non
- Point d'inflection
- Prolongements par continuité + étude de la dérivée en ces points si cela se fait sentir (limite finie sur une borne finie)

[lag]

Je dois développer en série MacLaurin la fonction f d'équation f(x)= ln(1-2x) et déteminer l'intervalle de convergence:

Je suis vraiment bloqué

merci bpc