Tangentes, inversions, points limites

[Budin]

Bonjour à toutes et à tous,

Je souhaite présenter l'inversion, dans le style des années 1960-1962, à des lycéens en club de maths, avec l'asso ANIMATH. C'est tout un langage, si on veut, dans le style de Steiner, faire de la géométrie pure et éviter les calculs.
Voici un exemple sur lequel je sèche. Il s'agit de deux cercles sans points communs, des deux inversions , $s_+$ et $s_-$ qui les échangent, des quatre tangentes, menées depuis $o_+$ et $o_-$, des six points communs de ces tangentes prises deux à deux.
Une tangente menée depuis $o_+$ et une tangente menée depuis $o_-$ se coupent respectivement en quatre points tels que, si on les projette orthogonalement sur la droite des centres, donnent deux points de cette droite, $u$ et $v$.
Montrez que $u$ et $v$ sont les points limites du pinceau engendré par les deux cercles.

On peut montrer que $s_+$ et $s_-$ commutent et que $s_+ \circ s_-$ a deux points fixes qui sont justement $u$ et $v$. La clef est peut-être de ce côté-là.
Autre piste, le cercle de diamètre $[uv]$ qui est le plus petit cercle du pinceau orthogonal, à points de base.

Ce doit être un résultat classique... pour quelqu'un qui aurait été un spécialiste de ces questions en 1962...
J'ai passé mon bac cette année-là et j'aimais bien la géométrie. Mais j'étais loin d'être un expert...