Systèmes d'équations !

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Soit le système d'équations suivante :

On suppose qu'il existe généralement une méthode qui permet de savoir si ce système d'équations linéaires, admet des solutions ou non, sans pouvoir les determiner explicitement ! Pensez par exemple, au théorème d'Alembert en algèbre des équations qui permet d'établir qu'une équations algebrique de degré quelconque a au plus racines ! ceci dit la methode ne permet pas de determiner ces racines !
On suppose maintenant, que pour une matrice connue qui definit le système : , cette methode nous permet d'affirmer dans un cas particulier, que le système çi dessus admet une unique solution ! Est -t-il possible, de determiner sa valeur ! c'est à dire , resoudre le système ?
Connaissez vous un bon cours qui parle de ce sujet ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Tu connais quoi ? tu cherche qui ?
Si tu connait les a_{i,j} et les b_i, c'est que tu est en train se chercher les racines communes de plusieurs polynômes.
Ces racines communes sont celle... du pgcd de tes polynômes.

[barbu23]

Tu connais quoi ? tu cherche qui ?
Si tu connait les a_{i,j} et les b_i, c'est que tu est en train se chercher les racines communes de plusieurs polynômes.
Ces racines communes sont celle... du pgcd de tes polynômes.

Oui, je comprends ce que tu veux dire Ben314, mais le problème là, Est ce qu'il y'a une methode generale, qui permet de trouver : , avec : est un polynome de degré , tel que ses coefficlents sont dans !
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Oui, ca s'appelle... l'algorithme d'euclide (quand on a les "vrai" valeurs numériques des coeff des polynômes).
Si on veut rester "théorique", il y a les résultants qui permettent de savoir s'il existe ou pas des racines communes (mais ils ne donnent pas les racines)

[barbu23]

Oui, ca s'appelle... l'algorithme d'euclide (quand on a les "vrai" valeurs numériques des coeff des polynômes).
Si on veut rester "théorique", il y a les résultants qui permettent de savoir s'il existe ou pas des racines communes (mais ils ne donnent pas les racines)

Ben314, que veux dire par : "vrai" valeurs numériques ?
Est ce que tu as une idée claire sur ce qu'est ce monde de variétés algebriques ? et geometrie algebrique ? Est ce qu'il reussit à trouver explicitement les racines communes d'une ensembles de poynomes ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

quand on a les "vrai" valeurs numériques des coeff des polynômes

Les vrai valeurs numeriques , c'est à dire des entiers d'un anneau factoriel ?c'est ça ? :happy3:

[Ben314]

Quand je dit des "vrais valeurs", c'est pour dire que l'algorithme d'euclide (plus précisément l'algorithme de division euclidienne contiet des SI... ALORS)
Un exemple sur des polynomes "théoriques" :
Si P=X^3+aX²+bX+c et Q=X^3+a'X²+b'X+c'
Si tu applique l'algo d'euclide, la division de P par Q, donne un reste égal à (a-a')X²+... et tu doit diviser Q par ce reste, sauf que deux cas se présentent selon que a-b=0 ou pas...

Si tu veut faire l'algo d'euclide jusqu'au bout sur cet exemple, tu va tomber sur plein de sous-cas "machin=0 ou machin non=0" ce qui est normal vu que le pgcd peut être de degré 3 ou 2 ou 1 ou 0 en fonctions des valeurs de a,b,c,a',b',c' !!!!
Ce que je voulais dire, c'est qu'essayer de faire l'algo d'euclide sur des polynômes dont on ne connais pas les coeffs "pour de vrai", (c'est à dire que l'on ne sait pas si a=a' ou pas), c'est pas super malin.