Systemes d'equations non linéaire

[bertr]

Bonjour à tous, je dois resoudre le système suivant:

(x1-x5)^2+(y1-y5)^2+(z1-z5)^2=(R1+R5)^2
(x2-x5)^2+(y2-y5)^2+(z2-z5)^2=(R2+R5)^2
(x3-x5)^2+(y3-y5)^2+(z3-z5)^2=(R3+R5)^2
(x4-x5)^2+(y4-x5)^2+(z4-z5)^2=(R4+R5)^2

ou x5,y5,z5 et R5 sont les inconnus.

Comment s'y prendre??

[mathelot]

bjr,

tout d'abord, une interprétation géométrique et un dessin dans l'espace
avec 4 ....

[bertr]

On est d'accord le probleme que je cherche est de trouver la 5ieme sphere (si elle existe ) tangente aux quatres autres

[mathelot]

1) au niveau combinatoire, deux sphères se coupent en un cercle
donc =6 cercles à priori
deux cercles se coupent en deux points d'où
=30 points d'intersection

2) sur n'importe quel plan de projection, les 4 sphères se projettent en
cercles avec semble-t-il conservation du point de tangence:
des sphères tangentes vont donner par projection des cercles tangents
dans le plan de projection. es-tu d'accord ? (c'est faux)
3) il semble aussi que la puissance d'un point de l'espace par
rapport à une sphère peut être un outil intéressant..

[bertr]

Dans mon problème, les sphères peuvent ne pas s'entrecouper (les 4 premières peuvent être distinctes) .
Supposons que l'on puisse obtenir ces cercles tangents dans le plan, peut t'on récuperer les centres et les rayon des spheres initiales?

[mathelot]

Dans mon problème, les sphères peuvent ne pas s'entrecouper (les 4 premières peuvent être distinctes) .

bien sûr.

Supposons que l'on puisse obtenir ces cercles tangents dans le plan, peut t'on récuperer les centres et les rayon des spheres initiales?

ferme les yeux. imagine une sphère dans l'espace, aérienne comme une bulle de savon. Un plan extérieur. On projette les points de la sphère othogonalement sur le plan. Comme le problème a une symétrie radiale,
on peut même imaginer le plan de projection horizontal.

Que dire du disque obtenu en projetant ? quel est son rayon ?
on peut considérer que l'on enferme la sphère dans un cylindre
tangent d'axe perpendiculaire au plan de projection.

[bertr]

Donc, si je résume selon toi :

- Je prend un plan exterieur aux quatres spheres
- Je projete orthogonalement les spheres sur le plan
- Je calcule un cercle tangent (s'il existe) tangent aux quatres autres
- Je peux récuperer le rayon de la sphère voulue.

Je me pose quelques questions :

-Comment obtenir le centre de la sphère ( l'ensemble des points qui se projetent orthogonalement sur le centre du cercle tangent dans le plan est une droite ) ?
-Quel est le meilleur choix du plan ?
-Comment obtenir un cercle tangent (s'il existe) à quatre autres dans un plan?
- Le système d'équations de départ a t-il une solution analytique?

[mathelot]

re,

on cherche 4 inconnues (x,y,z,R):

(x,y,z) sont les coordonnées du centre de la sphère inconnue.
les sphères sont tangentes extérieurement si les distances des centres
sont égales à la somme des rayons





en soustrayant (2) à (1):



c'est donc une équation affine à 4 inconnues.
On peut en former comme ça.
ça fait donc un système avec second membre
à 4 inconnues et 6 équations. On est donc ramené à la théorie de
Gabriel Cramer.

[mathelot]

up..............................
cette fois, ça semble ok:

il y a 6 équations de la forme:



en choisissant les combinaisons de deux indices (1,2),(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4) , soient 6 combinaisons.

On regarde la relation de chasles sur les coefficients de l'inconnue x:

(relation de Chasles)

(1,2) suivi de (2,3) donne (1,3)
permet d'écrire une contrainte, à savoir que la somme des deux égalités (1,2) et (2,3) entraine (1,3) et d'éliminer l'équation (1,3).
ça donne 4 contraintes à écrire entre centres et rayons.

[emdro]

Bonsoir,

2) sur n'importe quel plan de projection, les 4 sphères se projettent en
cercles

Oui

avec semble-t-il conservation du point de tangence:
des sphères tangentes vont donner par projection des cercles tangents
dans le plan de projection. es-tu d'accord ?

non.
Imagine deux billes dans un tuyau d'arrosage (tous ces objets ayant même diamètre). Si tu regardes dans le tuyau, tu verras un seul cercle, et le point de tangence sera au centre du cercle, non?

[mathelot]

Bonsoir,



Oui



non.
Imagine deux billes dans un tuyau d'arrosage (tous ces objets ayant même diamètre). Si tu regardes dans le tuyau, tu verras un seul cercle, et le point de tangence sera au centre du cercle, non?

oui, d'accord.

[emdro]

(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)

(1,2) et (2,3) donnent (1,3)
Il reste (1,2)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)

(1,2) et (2,4) donnent (1,4)
Il reste (1,2)(2,3)(2,4)(3,4)

(2,3) et (3,4) donnent (2,4)
Il reste (1,2)(2,3)(3,4)

Et il n'y a plus assez d'équation... :hein:

[mathelot]

(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)

(1,2) et (2,3) donnent (1,3)
Il reste (1,2)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)

(1,2) et (2,4) donnent (1,4)
Il reste (1,2)(2,3)(2,4)(3,4)

(2,3) et (3,4) donnent (2,4)
Il reste (1,2)(2,3)(3,4)

Et il n'y a plus assez d'équation... :hein:

c'est le bouquet. Il y a quelque chose qui m'échappe. As tu un avis sur
la question ?

[emdro]

Bonjour,

Dans le système:
(1)
(2)
(3)
(4)

l'équation qu'on a surnommée (1,2) est obtenue en soustrayant (2)-(1)
On a donc remplacé (2) par (2)-(1); idem pour (3) et (4).
Mais on n'obtiendra un système équivalent qu'en conservant l'équation (1)!

Ton système de trois équations linéraires à 4 inconnues te permet d'exprimer toutes les inconnues en fonction d'une autre, disons x, y, z en fonction de R. En substituant dans (1), cela donne une équation du second degré en R.

[bertr]

Je suis d'accord avec cette derniere reponse, on obtient le système :

ax+by+cz=e-dr
a'x+b'y+c'z=e'-d'r
a''x+b''y+c''z=e''-d''r

avec a=2(x1-x2), b=2(y1-y2) ,c=2(z1-z2) ,d=2(r1-r2)
et e=(x1^2+y1^2+z1^2-r1^2)-(x2^2+y2^2+z2^2-r2^2) pour l'equation
(2)-(1) et la même chose en remplacant l'indice 2 par 3 et 4 pour les équations (3-1) et (4-1).

Soit le systeme Ax=B

Si le determinant de A est différent de zero, on calcule X et
on réinjecte ensuite la solution X=(x1,y1,z1) dans la première équation et on résoud le polynome du second dégré en r.

[emdro]

J'espère que tu n'as pas besoin de la solution dans le cas général, car elle fait peur lorsque Maple l'affiche! :zen:

NB: on résout !

[mathelot]

(1)
(2)
(3)
(4)

tout à fait d'accord avec vous deux.
Le système peut aussi se "voir" comme 4 trinomes du second degré
d'inconnue R. Ils ont tous un discriminant réduit positif , deux racines de signe opposé, et la racine positive , racine commune aux quatre trinomes.

je subodore que l'on peut calculer R agréablement, n'en déplaise à Maple
Est-ce que l'on peut appliquer les résolvantes de Lagrange à 4 trinômes
qui ont une racine positive commune ?

[mathelot]

emdro,

j'avais envie de réécrire ton système:

Dans le système:
(1)
(2)
(3)
(4)

en

(1)
(2)
(3)
(4)

p......, je viens de penser que les normes des nombres complexes sont multiplicatives.

[emdro]

J'ai des difficultés à voir l'apport de cette écriture. :doh:

[mathelot]

J'ai des difficultés à voir l'apport de cette écriture. :doh:

oui, ce n'est pas probant..je conjecture , comme le système 3x3
a un second membre affine en R (la 4ième inconnue) et que x,y,z et R
semblent jouer des rôles identiques, qu'il y a une quatrième équation
cachée ,dans le problème, qui conduirait à un système de Cramer 4x4.