Systeme de congruence

[NAVY725]

Bonsoir, je dois résoudre le système suivant:

(1) 3x =10[7]
(2) 11x=-8[17]
(3) 16x=1[5]

POur commencer, il faut mettre sous la forme x=a[b] chacune des lignes.
Ok pour la ligne (3) car (3)<=>x=1[5] (si je ne me trompe pas)

ensuite (1)<=>3x=3[7] mais je ne pense pas que cela implique x=1[7]

Et pour la ligne (2) c'est le blocage complet :/

On a fait qu'un seul exemple en cours et la forme x=a[b] se trouve trivialement sur les 3 lignes. Mais pas la :(

Il me faudrait un petit coup de pouce pour mettre sous la bonne forme. La suite, c'est le th des restes chinois ect.. je sais faire.
Merci a vous.

[Doraki]

Bah par exemple pour 3x = 10 mod 7, tu peux regarder pour quel x entre 0 et 6 ça marche.

[NAVY725]

oui :O sur suis bête (ou fatigué) je préfère la 2eme hypothèse ^^

Cependant si on a une congruence modulo 97 ca devient problématique comme méthode. Je pense qu'il existe une manière générale de manipuler ces équations.

Je vais me contenter de ca pour l'instant merci a toi.

[Doraki]

oui tu as raison, il y a une meilleure méthode, mais c'est bien de quand même garder à l'esprit que au fond on te demande pas un truc compliqué.

Pour résoudre l'équation 3x=10 [7],
bah déjà ça équivaut à 3x=3[7], et là bah, si, ça équivaut à x=1, parceque 3 est inversible modulo 7.
3*5 = 1 donc si 3x=3 alors 5*3x=5*3 donc x=1.

Pour résoudre genre 31x = 72 [97], il faut faire comme d'habitude et diviser les deux cotés de l'équation par 31.
Pour faire ça il faut trouver l'inverse de 31 modulo 97.
C'est à dire trouver un y et un k entiers tels que 31y = 1 + 97k
C'est à dire trouver y et k tels que 1 = 31y-97k.
Là tu dois reconnaître le théorème de Bézout et savoir que l'algorithme d'Euclide étendu permet, tout en calculant le pgcd de 31 et 97, de déterminer des y et des k tels que 1 = 31y-97k.