Bonjour,
Voici la définition d'une symétrie vectorielle :
Soit E un K-ev.
On appelle symétrie vectorielle de E tout endomorphisme s de E vérifiant : s ° s = Id_E.
Et un théorême
Soit E un K-ev.
Si s est une symétrie alors : E = Ker(s-Id_E) + Ker(s+Id_E). ( où + est le symbole pour supplémentaire)
J'aimerais savoir comment démontrer ce théorème.
Merci
Symétrie vectoriellle
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par SimonB » 10 Fév 2009, 13:11
C'est vrai seulement si le corps est de caractéristique différente de 2 !
Pour le démontrer, tu peux procéder par analyse-synthèse : si le résultat est vrai (analyse), alors tout x de E s'écrit de manière unique
, où , x_2 \in Ker(s+Id))
. Alors =s(x_1)+s(x_2)=x_1-x_2)
(vu les endroits où vivent 
et 
). Tu as donc deux équations pour deux inconnues : trouver et est facile. Réciproquement (synthèse), tu vérifies que ces et conviennent.
Pour le démontrer, tu peux procéder par analyse-synthèse : si le résultat est vrai (analyse), alors tout x de E s'écrit de manière unique
par Antho07 » 10 Fév 2009, 13:17
On a 
Il faut montrer
 \oplus ker(s + Id_{E})=E)
, autrement dit 3 choses:
 \cap ker(s+Id_{E})=\{0_{E}\} \\<br /><br />\cdot \, ker(s-Id_{E})+ker(s+Id_{E} \subset E \\<br />\cdot \, E \subset ker(s-Id_{E})+ker(s+Id_{E})\\ \mbox{ autrement dit }, \forall x \in E, \exists x_{1} \in ker(s-Id_{E}) \mbox{ et } x_{2} \in ker(x+Id_{E}) \, \mbox{ tels que } \, x=x_{-}+x_{+} \end{array})
En faite, le deuxieme point est immédiait, le troisieme on pourra utiliser
}{2}+ \frac{x+s(x)}{2})
Il faut montrer
En faite, le deuxieme point est immédiait, le troisieme on pourra utiliser
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