Symétrie orthogonale

[mehdi-128]

Bonjour,

Je comprends ce qu'est une symétrie orthogonale par rapport à une droite mais je comprends pas la définition théorique.

1/ Puisque est la symétrie par rapport à F et parallèlement à F⊥, sF est un endomorphisme de E vérifiant

Pourquoi on a s^2 = Id ?

2/ Si F={0} alors s=-Id et F=E alors s=Id

Pourquoi ?

3/ Aussi et Ker(sF−Id)=F et Ker(sF+Id)=F⊥

Je comprends pas d'où viennent ces égalités

[NicoTial]

Soit F un sous-espace d'un espace vectoriel euclidien E. Alors on appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'application qui à tout x de E qui se décompose uniquement en x=y+z avec y dans F et z dans l'orthogonal de F associe s(x)=y-z.

Avec cette définition, cette "formule" de s(x), tu peux répondre à certaine de tes questions tout seul, non ?

[NicoTial]

Pour schématiser une symétrie orthogonale : Place toi dans R², trace une droite quelconque, par exemple la droite y=x. Prends un point quelconque de ton espace et effectue la symétrie orthogonale par rapport à ta droite avec les méthodes de collège (tracé l'orthogonale passant à la droite passant par ton point, etc...). Regarde alors les coordonnées de ton point résultant et essaye de voir si la "formule" fonctionne et essaie de bien voir pourquoi... je pense que faire ceci peut t'aider à appréhender la notion de symétrie orthogonale
(si jamais l'envie te prends, tu peux également tenter de le faire pour les rotations d'angle pi/3 par exemple).

[mehdi-128]

Soit F un sous-espace d'un espace vectoriel euclidien E. Alors on appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'application qui à tout x de E qui se décompose uniquement en x=y+z avec y dans F et z dans l'orthogonal de F associe s(x)=y-z.

Avec cette définition, cette "formule" de s(x), tu peux répondre à certaine de tes questions tout seul, non ?

Oui c'est cette formule que j'ai pas compris c'est la base.

[mehdi-128]

Pour schématiser une symétrie orthogonale : Place toi dans R², trace une droite quelconque, par exemple la droite y=x. Prends un point quelconque de ton espace et effectue la symétrie orthogonale par rapport à ta droite avec les méthodes de collège (tracé l'orthogonale passant à la droite passant par ton point, etc...). Regarde alors les coordonnées de ton point résultant et essaye de voir si la "formule" fonctionne et essaie de bien voir pourquoi... je pense que faire ceci peut t'aider à appréhender la notion de symétrie orthogonale
(si jamais l'envie te prends, tu peux également tenter de le faire pour les rotations d'angle pi/3 par exemple).

D'accord mais dans R^2 que vaut mon F ? Comment je le représente ?

[mehdi-128]

J'ai fait un dessin mais je sais pas à quoi correspond F, F ortho, x , y , z et dans mon exemple.

[Pseuda]

Bonsoir,

Supposons que le repère est (O, i, j). Tu as (en vecteurs) : OM = 3 i + j. Il se décompose de manière unique en un vecteur de la droite d'équation y=x, et en un vecteur de la droite d''équation y=-x qui lui est orthogonale.

Cela donne : OM = 3 i + j = 2( i + j) + (i - j).
Par la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation y=x (engendrée par le vecteur i + j), le vecteur OM a pour image : OM' = i + 3j = 2(i + j) - (i - j).

Comprends-tu ?

[mehdi-128]

Bonsoir,

Supposons que le repère est (O, i, j). Tu as (en vecteurs) : OM = 3 i + j. Il se décompose de manière unique en un vecteur de la droite d'équation y=x, et en un vecteur de la droite d''équation y=-x qui lui est orthogonale.

Cela donne : OM = 3 i + j = 2( i + j) + (i - j).
Par la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation y=x (engendrée par le vecteur i + j), le vecteur OM a pour image : OM' = i + 3j = 2(i + j) - (i - j).

Comprends-tu ?

Je comprends même parfaitement, c'est super clair merci beaucoup

En gros F=Vec{e1,e2} c'est une droite donc de dimension 1.

J'ai une question : quelle formule utiliser pour calculer : la symétrie orthogonale du vecteur x par rapport à la droite D=Vec{e1 - e2}

Ou : avec a et réels

[mehdi-128]

En utilisant votre méthode :



Comment montrer que est orthogonal à ?

J'essaie d'écrire x sous la forme d'un élément de F et un élément de F orthogonal...

[Pseuda]

J'ai une question : quelle formule utiliser pour calculer : la symétrie orthogonale du vecteur x par rapport à la droite D=Vec{e1 - e2}

Ou : avec a et réels

Pour cela, il faut commencer par déterminer un vecteur directeur de l'orthogonal de la droite D. Par exemple le vecteur e1 + e2. Il est orthogonal à e1-e2 car leur produit scalaire est nul.

Puis on décompose en : . On est amené à résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues et .

Je l'ai fait pour ton exemple en m'aidant du dessin. Tel que tu étais parti à 14:09, ça n'allait pas, car tu avais choisi arbitrairement le vecteur de D. Or ce vecteur dans la décomposition, est unique.

[mehdi-128]

En effet



J'ai trouvé :

y appartient à F et z à l'orthogonal de F :

C'est correct ?

Sinon pour la rotation d'angle théta = Pi/3 j'aimerais faire aussi le dessin pour comprendre comment ça marche faut que je parte de quelle définition ?

[NicoTial]

Pour la rotation : regarde la formule et son explication à la page 10 :
https://www.math.u-psud.fr/~rumin/ensei ... 9aires.pdf

[mehdi-128]

Pour la rotation : regarde la formule et son explication à la page 10 :
https://www.math.u-psud.fr/~rumin/ensei ... 9aires.pdf

Merci le cours est super clair, par contre j'ai oublié mes connaissances en trigo je comprends pas comment on retrouve ces formules ...
Déjà R(e1) je sais plus comment faire pour trouver ça
J'ai dessiné les triangles rectangles :

[NicoTial]

Il s'agit de faire des projections à l'aide des formules ci-contre : et

[mehdi-128]

Il s'agit de faire des projections à l'aide des formules ci-contre : et

Je trouve : cos(theta) = ? / Rtheta(e1) mon ? désigne une partie de e1 dans mon triangle que j'ai dessiné en rouge.

Je comprends pas...

[NicoTial]

Regarde ceci :
http://www.lyc-vinci-st-witz.ac-versail ... atique.pdf

[mehdi-128]

Regarde ceci :
http://www.lyc-vinci-st-witz.ac-versail ... atique.pdf

Bah là c'est facile. Je sais calculer un cos et un sin. Mais ça marche pas dans le dessin que j'ai mis.

Sur ma figure je peux pas calculer cos(theta) on connait pas la valeur du côté adjacent

[mehdi-128]

Pour la rotation : regarde la formule et son explication à la page 10 :
https://www.math.u-psud.fr/~rumin/ensei ... 9aires.pdf

Merci le cours est super clair, par contre j'ai oublié mes connaissances en trigo je comprends pas comment on retrouve ces formules ...
Déjà R(e1) je sais plus comment faire pour trouver ça
J'ai dessiné les triangles rectangles :

La projection de R(e1) sur ex donne pas e1 sur le schéma vous voyez mon problème ? la norme de e1 c'est le rayon du cercle...

[Pseuda]

La rotation d'angle en dimension 2 est définie à partir de ces formules, qui donnent les images de e1 et e2, donc de tout vecteur (via la matrice de la rotation). Donc ce n'est pas la peine de se casser la tête pour savoir comment on retrouve ces formules.

Seulement, on démontre que la rotation est une isométrie (elle conserve la norme euclidienne et le produit scalaire), et on remarque qu'elle correspond visuellement à l'idée que l'on s'en fait.

[mehdi-128]

La rotation d'angle en dimension 2 est définie à partir de ces formules, qui donnent les images de e1 et e2, donc de tout vecteur (via la matrice de la rotation). Donc ce n'est pas la peine de se casser la tête pour savoir comment on retrouve ces formules.

Seulement, on démontre que la rotation est une isométrie (elle conserve la norme euclidienne et le produit scalaire), et on remarque qu'elle correspond visuellement à l'idée que l'on s'en fait.

Oui je vois mais je comprends pas comment on retrouve les expressions simples ci-dessous et ça m'énerve c'est niveau première