Symétrie - translation

[MacManus]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'aider dans cet exercice car je n'avance pas.

1. Déterminer les équations cartésiennes qui définissent la symétrie par rapport à la droite D: x+y = 1 et parallèlement à la direction (2, 1).
2. On note la translation de vecteur (1, 1).
Quels sont les éléments caractéristiques
de la composée g = ° ?
3. Déterminer pour tout n Z l’itérée n fois de g :


1.
J'ai bien tracé la droite D : y = -x+1 mais comment trouver les équations ??
Faut-il exprimer la partie linéaire (matrice) de cette symétrie?

2.
la composée g est-elle une symétrie glissée ?

Merci de votre aide! car je n'y comprends pas grd chose..

[mathelot]

bjr,

On obtient trois égalités et trois inconnues en écrivant

avec

L milieu de [MM']

Cordialement,

[MacManus]

bjr et merci de ton aide

M(x,y) ; M'(x',y') ; = (2,1)

équivaut au système d'équations

x' - x = 2
y' - y =
y = -x + 1

x' = x+2
y' = -x+1+

L((x'+x)/2,(y'+y)/2) D

donc : (y'+y)/2 = -[(x'+x)/2] + 1


est-ce que c'est exact?
merci

[mathelot]

ben non, ce n'est pas exact :hum:

[mathelot]

x' - x = 2
y' - y =
y = -x + 1

L((x'-x)/2,(y'-y)/2) \in D

donc : (y'-y)/2 = -[(x'-x)/2] + 1

j'ai mis du rouge :zen:

Le point M est un point quelconque du plan, non nécéssairement sur D
Les coord. du milieu sont inexactes

[MacManus]

j'ai exprimé matriciellement x' et y' en foncion de x et y et du vecteur u

la matrice est A =

j'obtiens une reation du genre X' = AX +


le milieu du segment [MM'] est bien L = () ?? :hein:

[mathelot]

le milieu du segment [MM'] est bien L = () ?? :hein:

oui. :++:

[MacManus]

Ouf je suis pas bête :happy2:

Donc Si LD cela signifie que ses coordonnées vérifient l'équation de D : x+y = 1. ( )
c.a.d :

[MacManus]

A l'aide de cette dernière équation je trouve ?

les points M, M' appartenant au plan et L appartenant à D et milieu de [MM'], la droite engendrée par le vecteur n'est pas perpendiculaire à D ?

[mathelot]

A l'aide de cette dernière équation je trouve ?

les points M, M' appartenant au plan et L appartenant à D et milieu de [MM'], la droite engendrée par le vecteur n'est pas perpendiculaire à D ?

non, ce n'est pas une symétrie orthogonale. Elle est involutive mais ne conserve ni les distances, ni les angles (faire un schéma)

[MacManus]

j'ai exprimé matriciellement x' et y' en foncion de x et y et du vecteur u

la matrice est A =

j'obtiens une reation du genre X' = AX +

Ma matrice A est la matrice identité, donc l'équation ci-dessus définie une translation. où est donc ma symétrie avec les 3 équations et les 3 inconnues x',y' et ?? Je ne comprends pas bien... :triste:

[mathelot]

il faut exprimer x' et y' comme fonctions affines de x et y.

On a des relations. on élimine et on calcule x' et y' en fonction de x et y.

[MacManus]

On a : x' = x+2
y' = y +

donc : 2y' - x' = 2y - x
hum..en tout cas j'ai éliminé

Je dois aussi utiliser cette relation ?

[mathelot]

2y' - x' = 2y - x

une autre égalité de ce style permettra de calculer x' et y'

[MacManus]

J'ai aussi la relation :



d'où : y' + x'= -y-x+2


je fais sans doute n'importe quoi...dsl

[mathelot]

avec ces deux égalités, on calcule x' et y' en fonction de x et y.

[MacManus]

Soit A' =
Soit A =

Soit X' le vecteur colonne de x' et y'
Soit X le vecteur colonne de x et y
Soit B le vecteur colonne (0,2)

D'après le système de 2 équations exprimant x' et y' en fonction de x et y j'ai :

A'X' = AX+B

est-ce une bonne piste?

[MacManus]

Ok merci !!

[MacManus]

Cela nous donne :

y' =
x' =

est-ce correct?
merci

[MacManus]

d'où la relation matricielle suivante :
on pose: X' le vecteur colonne (x' y') et X le vecteur colonne (x y)

A =
B le vecteur colonne (4/3 2/3)
on a : X' = AX + B

???
merci