Axe de rotation / translation unique + Euler

[inpoculis789]

Bonjour,

On m'a parlé hier d'un théorème soit disant d'Euler qui dirait que:

N'importe quel mouvement d'un solide dans l'espace peut se résumer en une rotation et une translation selon le même axe.

Je ne comprends pas bien comment peut se faire la transformation suivante avec un seul axe (il faut imaginer un T et un T retourné):

T |-

Pour moi l'axe de translation est différent de l'axe de rotation...


En savez-vous plus? Pouvez-vous me donner des liens?


Merci,

Bernard.

[Ben314]

Salut,
Le théorème est vrai. La formulation mathématique "rigoureuse" est :
Toute isométrie directe de l'espace affine euclidien de dimension 3 peut s'écrire comme la composée d'une rotation d'axe D (éventuellement d'angle nul) et d'une translation de vecteur u (éventuellement nul) porté par la droite vectorielle D (la composition s'effectuant dans l'ordre que l'on veut car dans ce cas particulier, les deux isométries commutent)
Lorsque ni l'angle, ni le vecteur ne sont nuls, une telle isométrie est appelée "un vissage" (je pense que tu vois pourquoi)

Je ne comprend pas bien ton exemple avec le T...
Te place tu dans le plan ou dans l'espace de dim 3 ?
Vu ce que je comprend, tu est dans le plan et on passe d'un dessin à l'autre par une rotation (du plan) d'angle pi/2...

[inpoculis789]

L'exemple du T se trouve dans l'espace. Il y a simplement une dimension qui ne bouge pas du coup je peux le représenter en 2D.

Dans le dessin, il y a une rotation est une translation. On me dit que l'on peut transformer le premier vers le second avec une translation et une rotation qui ont le même axe. Je ne suis pas bien...

Qu'en penses-tu?

[Ben314]

Ca veut juste dire que dans ce cas, la translation est de vecteur nul.

Si tu veut le cas le plus particulier qui soit, la fonction identité (consistant à ne rien faire bouger) est bien un "mouvement de solide dans l'espace".
Si tu veut l'écrire comme composée d'une rotation et d'une translation de même axe, tu peut prendre l'axe au pif, tu doit prendre l'angle de la rotation nul et le vecteur de la translation nul...

En fait, les "cas particuliers" du théorème sont les rotation (=> la translation est de vecteur nul) et les translations (=> l'angle de la rotation est nul)
On peut dire que ce sont des "vissages" un peu spéciaux (c'est d'ailleurs plus malin de le dire...)

[Ben314]

Ce que tu n'as peut être pa vu, c'est que, dans le plan pour passer d'un "T" à l'autre, il n'y a pas besoin de translation :

En fait, en dimension 2, les isométries directes sont les translations et les rotations : de composer une translation et une rotation n'apporte rien de nouveau, le résultat est forcément une rotation.

[inpoculis789]

Merci pour tes explications et ta diplomatie, ça commence à venir. Je n'ai fais qu'un DEUG de mathématiques et c'était il y a longtemps...

J'ai parfaitement assimilé le cas 2D.

Pour le cas 3D j'ai du mal à comprendre pourquoi la translation peut toujours se faire suivant la droite vectorielle correspondant à l'axe de rotation.
As-tu un lien ou une explication vulgarisée?

Dans tous les cas, encore merci pour tes lumières.