Symétrie

par **fahr451** » 13 Déc 2006, 11:34

bonjour
une curiosité qui m'a amusé:
pour z complexe IzI<1 a,b,c dans N*
sigma de n= 0,inf de z^(bn)/(1-z^(an+c))
a un sens et est égale à la même somme en permutant b et c .

par **yos** » 13 Déc 2006, 12:41

Bonjour.
Pas mal en effet.

.
Et la dernière expression est symétrique en b et c.
(Convergence absolue pour justifier les permutations).
Ca avance les leçons de Latex?

par **fahr451** » 13 Déc 2006, 12:55

bravo yos; c 'est rigolo non ?
le latex au point mort (dans une autre vie peut être )
une autre semblable

montrer que sigma n = 1 ,inf de z^n /[(1-z^n)] = sigma n= 1 ,inf de d(n)z^n

où d(n) est le nombre de diviseurs positifs de n

par **yos** » 13 Déc 2006, 14:51

.
Et le nombre de couples (i,j) tels que

est d(n).

par **fahr451** » 13 Déc 2006, 15:14

je mets 10/10 pour la solution et 10/10 pour la présentation :)

par **yos** » 13 Déc 2006, 15:28

Merci, merci!
C'est pas mal aussi cet exo. Sais-tu si on peut calculer cette dernière somme? Et ainsi obtenir la fonction génératrice des d(n).

par **fahr451** » 13 Déc 2006, 15:46

et avoir d(n)? pour avoir d(n) on a (uniquement) besoin d e la décomposition de n en produit de facteurs premiers; si on avait la fct génératrice explicitement ; on aurait d(n) sans avoir eu besoin de la décomposition non ?

par **yos** » 13 Déc 2006, 17:10

fahr451 a écrit:pour avoir d(n) on a (uniquement) besoin de la décomposition de n

Tout est dans le "uniquement" : si n est grand, il est vite difficile de le factoriser. C'est un problème connu pour être bien plus dur que de tester la primalité de n. Je me demandais donc si une voie détournée pouvait nous donner d(n). Mais c'est peut-être ambitieux.

par **yos** » 15 Déc 2006, 12:49

Et que vaut cette somme

?

par **fahr451** » 15 Déc 2006, 12:54

à un chouia près la dérivée k ième de 1/(1-z)

1/(1-z)^(k+1) = sigma n = 0 ,inf de ( k parmi n+k) z^n

par **yos** » 15 Déc 2006, 13:30

Ah oui la somme part de 0 et pas de 1.
Quelle rapidité! Bravo.

par **fahr451** » 15 Déc 2006, 14:17

merci yos
c'est latex qui ralentit :)

par **fahr451** » 15 Déc 2006, 14:38

Cette somme intervient par exemple dans le calcul de l 'espérance du rang du kième succès ds un schéma de bernoulli (loi de pascal ) :
un étudiant endurant ( et à la vie infiniment longue) doit réussir k certificats.
Il passe un certificat par an ( pas très courageux) . A chaque tentative il a la probabilité p de réussir le certificat. chaque certificat réussi est acquis.
Donner le nombre moyen d 'années pour obtenir les k certificats.

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