Symbole sigma et inégalité d'indices
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Toto256
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par Toto256 » 26 Fév 2023, 02:22
Bonjour,
Dans la formule du crible, on rencontre la notation
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sum_{1\leq i_1 < i_2<\ldots <i_k\leq n})
. Cela signifie si j'ai bien compris toutes les possibilités de k-uplet possibles d'ensembles que l'on peut former. Ma question est pourquoi cette notation traduit ceci, car je ne vois pas pourquoi. Merci.
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lyceen95
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par lyceen95 » 26 Fév 2023, 09:34
On peut décomposer cette somme, en figeant à chaque fois la valeur de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
.
On obtient donc :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\Sigma _{1 \le i_1 \le n} + \Sigma _{1 \le i_1 < i_2 \le n})
etc
La première somme est simple.
La 2ème somme, pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k=2)
: on prend tous les couples
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(i_1,i_2))
avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?i_1 \ne i_2)
, et prenant une seule fois chaque couple (on prend le couple
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(1,2))
, mais pas le couple
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(2,1))
Puis pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k=3)
, on prend tous les triplets, une seule fois chaque triplet, etc etc.
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Toto256
- Membre Naturel
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par Toto256 » 26 Fév 2023, 12:13
Ok merci c'est plus clair ! Mais moi je connais juste pour I et J disjoints :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sum_{x\in I \cup J}=\sum_{x\in I} + \sum_{x\in J})
. Peut-on se ramener à des unions pour appliquer ceci, ou est-ce une autre règle ?
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GaBuZoMeu
- Habitué(e)
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par GaBuZoMeu » 26 Fév 2023, 14:17
Bonjour,
Un autre point de vue, qui me semble bien adapté à la formule du crible où on considère toutes les intersection
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
pour un certain
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
inférieur ou égal à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
. On fait alors une somme indexée par l'ensemble des parties de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\{1,\ldots,n\})
à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
éléments. Une telle partie peut être ordonnée par l'ordre naturel sur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\{1,\ldots,n\})
et ceci fournit une bijection entre l'ensemble des parties à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
éléments de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\{1,\ldots,n\})
et l'ensemble des
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
-uplets d'entiers
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(i_1,\ldots,i_k))
tels que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n)
. On a ainsi (pour une mesure
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?P)
)
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\large\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\},\ |I|=k} P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right) = \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} P\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\ldots\cap A_{i_k}\right))
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