Surjectivité

par **Le_chat** » 10 Jan 2010, 17:43

Bonjour à tous!
J'ai une question un peu bête, mais j'aimerai pas me planter :we:
On a une application g: I->J. Et on a en plus g injective, ainsi que le même nombre (fini) d'éléments dans I et J. g est-elle alors surjective?
Je dirai que oui, mais je ne sais pas bien le justifier.
Merci d'avance

par **Le_chat** » 10 Jan 2010, 19:42

La réponse doit etre evidente pour pas mal de monde, aidez moi s'il vous plait!

par **Ben314** » 10 Jan 2010, 19:47

La réponse est "oui". Pour la preuve, c'est assez simple en montrant que, si f est injective et K fini alors f(K) a le même cardinal que K...

par **Le_chat** » 10 Jan 2010, 20:26

Merci beaucoup pour ta reponse! j'ai reussi à demontrer ce que tu m'as dit de faire, mais en fait pour revenir a mon application, sa veut juste dire que card(g(I))=card(J)...

par **Ben314** » 10 Jan 2010, 20:51

Le_chat a écrit:...sa veut juste dire que card(g(I))=card(J)...

ce qui implique que g(I)=J (car évidement g(I) est contenu dans J) et donc que g(I)=J.

Un autre "mini théorème" utilisé ici est que, si deux ensembles finis ont même cardinal et que l'un des deux est contenu dans l'autre alors ils sont égaux. Intuitivement, c'est évident, pour la preuve, c'est la même que celle que l'on est obligé de faire avant de définir le "cardinal" d'un ensemble, c'est à dire qu'il faut prouver que si un ensemble K est en bijection avec un ensemble {1..n} alors le n est unique (c'est lui que l'on va appeler le cardinal de K).
Il me semble que la preuve se fait par récurrence...

par **Le_chat** » 10 Jan 2010, 20:55

Okay merci beaucoup!! tu me sauves la vie !

par **ffpower** » 10 Jan 2010, 21:06

ou par l absurde..( ok leon, "ou par contraposée"..)

par **Ben314** » 11 Jan 2010, 00:13

ffpower a écrit:ou par l absurde..( ok leon, "ou par contraposée"..)

Tu y arrive par l'absurde (ou contrapsé) sans récurrence ?
Perso., la preuve qui me vient à l'esprit utilise une récurrence et pas forcément l'absurde : on suppose qu'il existe une bijection de {1..n} dans {1..m} et, quitte à échanger n et m on peut supposer n inférieur ou égal à m... (par contre, je suis d'accord avec le fait que dans cette preuve, il me parrait plus "naturel" de supposer n<m, c'est à dire faire de l'absurde...)

par **ffpower** » 11 Jan 2010, 01:59

Je parlais du "mini theoreme", ie du fait que si A est inclu dans B et card(A)=card(B) alors A=B
Je suppose l inclusion est stricte,donc il existe x dans B qui n est pas dans A: alors le cardinal de B est plus grand que le cardinal de A union {x}, qui vaut card(A)+1. Donc si A est inclu dans B et card(A)=card(B), alors A=B.

Apres, p-e que toi tu parlais d un truc anterieur encore a cette demo, mais alors la on va dans du Bourbaki de theo des ensembles. Car le dernier truc dont tu parles, c est en gros de la légimité de la définition d un entier en tant que cardinal d un certain ensemble. Du coup a ce stade, je suis même pas sur que l on ait droit d utiliser la reccurence..Bref tout ca pour dire que je ne sais pas trop de quoi on parle la en fait^^

par **Ben314** » 11 Jan 2010, 10:57

Effectivement, ce dont je parle est dans le début de "théorie des ensemble" dans lequel un suppose N construit avec le fait que toute partie non vide admet un plus petit élément (ce qui légitime la récurrence) et on veut montrer que, si un ensemble X (pas forçément contenu dans N) est en bijection avec un {1..n} de N alors le n est unique.
Cela correspond (en terme imagés) à montrer que, si je fait un patatoïde au tableau avec des croix dedans et que je demande de compter les croix, le résultat obtenu ne dépend pas de la façon dont on les a comptées...
Il me semble qu'un enfant de 5 ans est déjà convaincu du résultat (je pense même qu'il ne se pose pas la question...) , mais, est ce que cela ne demande quand même pas une petite preuve ?

P.S. vu mon age, j'ai un peu été élevé au "bourbaki" dés le biberon...

par **ffpower** » 11 Jan 2010, 20:31

Oui, ok, donc pour définir la légétimité de la notion de cardinal, il faut effectivement prouver ce que tu as dit, et a priori il n y a pas d autres choix que la reccurence ( je viens un peu d essayer de faire sans, mais le probleme c est qu on a aucun autre outil a ce niveau^^). Par contre une fois ceci fait, pour le mini theoreme en question ma preuve marche et ya pas besoin de faire d autres reccurences..

Sinon, j ai beau etre un jeunot, je me suis quand meme fait le Bourbaki de théories des ensembles, et j avoue que j ai bien aimé. Vu ainsi, les maths c est juste un jeu avec ses quelques regles et voila. C est comme un Sudoku quoi :zen: .J aime bien cette idée. Le seul truc qui m a un peu choqué c'est que l axiome du choix n est pas un axiome mais seulement une conséquence directe de la définition de "il existe". Ca semble donc aller a contrecourant des autres mathématiciens/logiciens.
Mais pour ma part je me suis arrêté là niveau Bourbaki. J'ai voulu commencé a lire celui de topo, mais ca m a juste découragé de lire du Bourbaki depuis^^

par **leon1789** » 11 Jan 2010, 20:59

ffpower a écrit:ou par l absurde..( ok leon, "ou par contraposée"..)

:ptdr: :marteau:

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