Surjectivité, injectivité

[Kyg]

Bonsoir,

J'ai un petit problème, je cherche à montrer que

Pour cela j'ai supposé qu'il existait et donc que
et donc
Mais je ne sais pas si ça peut marcher j'ai l'impression qu'il y a une erreur.

Et je voudrais aussi montrer que

mais je ne sais pas comment m'y prendre.

[Robot]

On te demande de démontrer l'axiome du choix ? A partir de quoi ?

Pour l'autre, c'est plus facile. Mais il manque une hypothèse : .

[Kyg]

Je ne connais pas l'axiome du choix et après un coup d’œil sur Wikipédia je ne suis toujours pas sûre de comprendre !
Les seules hypothèses dont je disposais au départ étaient :
et sont deux ensembles, et

[Robot]

Si tu as regardé la page wikipedia sur "Axiome du choix", tu as lu comme formulation possible de cet axiome :
"(3) Toute surjection est inversible à droite."
ce qui est exactement ce qu'on te demande de démontrer. (Dire que est inversible à droite, c'est dire qu'il existe une application telle que ).
Je suis donc un peu surpris. Si on n'admet pas l'axiome du choix, impossible de démontrer ce qu'on te demande de démontrer. Si on admet l'axiome du choix, l'énoncé est un peu idiot : c'est comme demander de démontrer que dans tout espace vectoriel, l'addition est commutative.

Par ailleurs pour la deuxième question, l'hypothèse est indispensable : la conclusion est fausse sans cette hypothèse. Si cette hypothèse ne figure pas dans ton énoncé, c'est que la personne qui a posé cet énoncé s'est trompée.

[Kyg]

D'accord, je vois. Pourtant c'est bien ce qu'on me demande de faire.
Donc le "raisonnement" que j'avais effectué pour la première question n'est pas correct ? Il me paraît en effet absurde mais je ne sais pas comment m'y prendre autrement...

[Robot]

Ce que tu as écrit n'a pas grand sens, en particulier :

et donc

Ce qui est peut-être attendu est d'écrire la propriété de surjectivité de (peux-tu le faire ?) et d'utiliser l'axiome du choix sous la forme
"Si on a une application qui à chaque fait correspondre un ensemble non vide, alors on a une application définie sur telle que pour tout , ."
pour montrer que a un inverse à droite.

[Kyg]

Oui par erreur j'ai ici remplacé par en plus.

Donc on peut commencer par dire que

Mais maintenant je ne suis pas sûre de pouvoir passer par cet axiome du choix étant donné que je ne le connaissais pas et que je suis censée utiliser des outils que je maîtrise...

[Robot]

Tu choisis pour tout un élément de tel que (autrement dit un élément de $f^{-1}(y)$ - il y en a) que tu appelles ...
(cette possibilité de choisir, c'est justement pour ça que ça s'appelle axiome du choix).

[Kyg]

D'accord, merci !
Et pour la deuxième question, savez-vous comment procéder après avoir précisé que ?

[Kyg]

En fait c'est tout bon, j'ai trouvé une démonstration convenable ! Merci beaucoup pour votre aide.