Surjectivité et Injectivité

par **Calvinator2000** » 23 Avr 2015, 11:25

Bonjour, voici une question sur laquelle j'aimerais avoir vôtre avis.

Montrer que

est surjective si et seulement si A est inversible.

Pour cela, j'ai d'abord montré que si A est inversible alors

est surjective.

En effet, si A est inversible, alors

existe et,

Donc

est inversible, ce qui, en dimension finie nous assure que

est bijective donc surjective.

Supposons maintenant que

est surjective, ce qui, en dimension finie revient à supposer

bijective. Alors,

On peut alors choisir

tel que

vérifiant l'affirmation ci-dessus.
Alors,

Donc,

est inversible.

Est-ce correct?

par **zygomatique** » 23 Avr 2015, 12:26

salut

pas très clair tout ça ....

supposons A inversible ::

alors pour tout M on a

donc M possède un antécédent et f est surjective

....

supposons f surjective ::

alors pour tout M il existe N tel que AN = M

alors en choisissant M tel que det M 0 on en conclut que det A 0

et il est inutile de parler de bijectivité !!!!

par **Calvinator2000** » 23 Avr 2015, 13:11

En effet, c'est plus concis.
Merci.

par **SLA** » 23 Avr 2015, 13:28

zygomatique a écrit:supposons f surjective ::

alors pour tout M il existe N tel que AN = M

alors en choisissant M tel que det M 0 on en conclut que det A 0

On peut même être encore plus économe en prenant

.

Cordialement

par **Calvinator2000** » 23 Avr 2015, 14:10

Bien vu ! .

par **zygomatique** » 23 Avr 2015, 16:14

effectivement ... :lol3:

Surjectivité et Injectivité

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