Surjectivité , inje, biject...

[mostdu95]

bonjour
soir f vérifiant f ° f ° f = f
Montrer que f injective <=> f surjective f<=> f bijective
un coup de pouce s'il vous plait et merci d'avance

[fahr451]

bonjour

qu 'as tu écrit ?

[mostdu95]

oui quelque soit x appartenent a E on a f(f(f(x))) = f(x)
si f est injective f(x) = x donc f est l'identité de E
si f est injective je trouve aussi que f est l'identité de f mais j'arrive pas ç suivre le raisonnement
est ce qu'il faut resonné par equivalence ou par double implication je my perd quoi
un coup de pouce s'il vous plait

[fahr451]

cela ne va pas

f = id est faux

[mostdu95]

pourquoi f n'est pas l'identité de E par ce que je trouve f(x) = x

[fahr451]

connais tu des applications autres que l identité vérifiant

f°f = id ?

[mostdu95]

connais tu des applications autres que l identité vérifiant

f°f = id ?

COMMENT ça je vois pas en quoi tu veux en venir
la question d'avant que j'ai pas poté ici est f ° f = f
montrer que si f est injective ou surjective f = idE et ça je l'ai demontré sans aucun souci

[fahr451]

COMMENT ça je vois pas en quoi tu veux en venir

inutile d 'écrire en majuscules...


c'est faux , essaye de comprendre ce que je t'écris plutôt.

(de plus si tu n'écris pas toutes les questions...)

tu as déjà entendu parler de symétrie je présume

elle vérifie

f°f = id , f est bijective et on a bien f°f°f = f

et il y a des symétries autres que l identité

[mostdu95]

non désolé je ne comprend pas
on plus c'est ° qu'est egale à id et pas f°f il me semble
f est une application de E vers E qui vétifie f ° f = f c'est ça le début de l'ennoncé

[fahr451]

je reprends



tu as affirmé que si f était injective alors f = id

ceci est faux

voici un contre exemple

f(x) = - x sur R

elle vérifie ton hypothèse , elle est bien injective et pourtant ce n 'est pas l 'identité

[mostdu95]

je reprends



tu as affirmé que si f était injective alors f = id

ceci est faux

voici un contre exemple

f(x) = - x sur R

elle vérifie ton hypothèse , elle est bien injective et pourtant ce n 'est pas l 'identité

j'ai ecris que c'etait l'identité de E
f est une application de E vers E qui vétifie f ° f = f c'est ça le début de l'ennoncé, désolé il fallait que le mette dès le début

[fahr451]

hum


tu ne donnes pas l énoncé correct et tu attends qu'on te donne une solution ...


alors la OUI

f°f = f et f injective implique f = id ...


(mais pas si l'hypothèse est f°f°f = f )

quelle est ta question à présent ?

[mostdu95]

je cherche à montrer :Montrer que f injective <=> f surjective f<=> f bijective
(f ° f ° f = f )
je suis parti d'une hypothese fausse comme tu le dis qui est que f = idE
sans ça je ne vois pas du tout comment procéder

[fahr451]

supposons f injective alors

pour tout x


f ( f°f(x) ) = f (x) par injectivité on a


f°f (x) = x ce qui assure que f est surjective puisque x est l'image de f(x) par f

supposons f surjective montrons f injective

prenons x et x ' avec

f (x ) = f (x ')

f étant surjective
il existe t et t' tels que

x = f(t) , x ' = f ( t')

d'où f°f(t) = f °f(t ') d'où
f°f°f(t) = f°f°f(t ')
et en utilisant l 'hypothèse

f(t) = f ( t ')

donc x = x ' et f injective

[mostdu95]

ahh merci beucoup Fahr451 j'ai trés bien compris maintenant
donc pour la dernière équivalence je dis juste que
f injettive => f surjective => f bijective ( car elle est à la fois surjective et injective)
f surjective => f injective => f bijective ( car elle est à la fois surjective et injective)
et merci encore