Surjectivité de la composition

[Charmander]

Bonjour,
Je cherche à étuder la surjectivité de la fonction :



Elle ne l'est probablement pas, mais avez-vous une idée de comment le prouver (contre-exemples avec dm, contraposée, absurde...) ? Merci d'avance

[L.A.]

Bonsoir.

C'est une question intéressante, personellement je ne connais pas la réponse mais je je serais du même avis que toi. Est-ce que tu as regardé des cas plus simples comme les fonctions de N dans N ?

Par exemple la fonction g : {1,2} -> {1,2} telle que g(1)=2 et g(2)=1 ne peut pas s'écrire g = fof. D'ailleurs dans {1,...,n} il suffit de prendre pour g un permutation de signature (-1) (noter que si fof est une bijection alors f aussi) pour avoir un contre exemple.

EDIT : quoique... les fonctions de R dans R quelconques sont quand même nombreuses, elle pourrait bien être surjective. Il faudrait voir avec des fonctions continues aussi par exemple.

[Doraki]

Regarde combien il peut y avoir de points fixes pour (f°f)°(f°f) qui ne sont pas de points fixes de (f°f)

[Charmander]

Merci pour vos réponses ! Finalement on m'a proposé une solution :

"Posons donc
g(0)=1, g(1)=0 et g(x)=2 sinon. Alors on ne peut pas écrire g=f;)f . Supposons que cela soit possible.
Alors,
* si f(0)=0, ce ne fonctionne pas.
* si f(0)=1, alors f(1)=1, mais fof(1)=1 qui ne vaut pas g(0)=0
Donc f(0)=a avec a différent de 0 ou 1, et de la même façon f(1)=b avec b différent de 0 ou 1.
Mais alors fof(0)=1 et donc f(a)=1.
On a aussi fof(1)=0 et donc f(b)=0.
Mais de plus, 2=g(a)=fof(a)=f(1)=b, et de la même façon a=2.
Ceci est une contradiction, car on devrait avoir f(2)=1 et f(2)=0."