Suites de valeurs approchées

par **CC_** » 01 Mai 2006, 13:41

Bonjour!

J'ai un petit exo à faire mais je ne vois pas trop comment le terminer... Pourriez-vous m'aider?

Il s'agit de prouver que, si Xn est une suite convergente de limite un nombre irrationnel, alors la suite An des valeurs approchées à

près par défaut de Xn est constante à partir d'un certain rang.

J'ai établi l'inégalité suivante :
(Xn+1 - Xn) -

< An+1 - An < (Xn+1 - Xn) +

; mais je ne pense pas que cela permette de conclure car passer aux limites ne résoudrait pas le problème.

Il faudrait prouver que An+1 - An = 0 à partir d'un certain rang et je ne vois pas comment. Merci de votre aide! :we:

par **serge75** » 01 Mai 2006, 14:32

Ton énoncé est visiblement faux !
Prenons pour xn la valeeur approchée par défaux à 10^(-n) près d'un irrationnel x. Ainsi An=xn, et si An était stationnaire, xn le serait aussi, et x serait égal à tous les xn à partir d'un certain rang. x serait donc décimal, donc rationnel.
Bref, ya un truc qui cloche. Revois ton énoncé

par **CC_** » 01 Mai 2006, 14:41

Je recopie l'énoncé tel qu'il est, à la virgule près :
"Si (Xn) est une suite convergente de limite un nombre irrationnel l, montrer que pour tout entier p, la suite (An) des valeurs approchées à

près par défaut des Xn est constante à partir d'un certain rang".

C'est ce qu'il y a dans ma feuille de TD... Et s'il est vraiment faux, quelle correction lui apporter?

par **yos** » 01 Mai 2006, 15:46

Serge 75 confond n et p il me semble.
Mais l'énoncé est faux quand même ou plutôt n'a pas de sens : pour un réel donné, il y a une infinité de valeurs approchées à

près par défaut. La suite An est mal définie.

par **yos** » 01 Mai 2006, 16:20

CC_ a écrit:Je recopie l'énoncé tel qu'il est, à la virgule près :
"Si (Xn) est une suite convergente de limite un nombre irrationnel l, montrer que pour tout entier p, la suite (An) des valeurs approchées à près par défaut des Xn est constante à partir d'un certain rang".

C'est ce qu'il y a dans ma feuille de TD... Et s'il est vraiment faux, quelle correction lui apporter?

Il faut voir en An le décimal obtenu en tronquant Xn à p chiffres après la virgule : Quand on dit "la valeur approchée à

près par défaut d'un réel", c'est à celle-ci qu'on pense en général mais c'est une déformation de l'esprit due à à notre habitude du système décimal.

Ensuite tu prends

et tu écris la définition de la limite : à partir d'un rang N tu as

. D'autre part

par définition de

. On en déduit

. Et on peut conclure vu que An est un décimal ayant au plus p chiffres après la virgule.

par **CC_** » 01 Mai 2006, 17:04

Merci Yos :++:
Sympa!

J'ai bien compris maintenant! Bonne soirée, @+ !

par **serge75** » 02 Mai 2006, 09:47

Effectivement, j'avais mal lu l'énoncé. Et la réponse de yos est excellente.

Suites de valeurs approchées

Suites de valeurs approchées

Qui est en ligne