Pour n entier naturel non nul, on pose
On montre que
Je n'arrive pas à montrer que
Merci bcp de votre aide !
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Suites
par jeje56 » 05 Sep 2009, 07:19
Bonjour,
Pour n entier naturel non nul, on pose^n=a_n+b_n\sqrt{2})
avec 
et 
entiers naturels non nuls, puis on définit :
On montre que
Je n'arrive pas à montrer que
est décroissante : j'utilise le fait que est définie par récurrence avec f(x)=3x+4/2x+3 mais je n'arrive pas à comparer 
et 
...
Merci bcp de votre aide !
Pour n entier naturel non nul, on pose
On montre que
Je n'arrive pas à montrer que
Merci bcp de votre aide !
par busard_des_roseaux » 05 Sep 2009, 08:32
jeje56 a écrit:
Quelles sont les propriétés de la fonction
résoud l'équation des points fixes :
Que vaut
comment s'écrit
Comment peut-on récurrer l'inégalité
par busard_des_roseaux » 05 Sep 2009, 08:49
re,
à propos, je signale un truc fascinant :doh: :
^n+\left(3-2\sqrt{2} \right)^n)
est un entier naturel pair, d'après la formule du binôme.
Le terme de droite est "petit" comme progression géométrique
de raison positive strictement inférieure à 1.
^n)
est très proche de sa partie entière +1, donc d'un entier.
question: est-ce qu'il y a un lien entre les propriétés du nombre réel
et les propriétés arithmétiques de l'entier^n \right)+1)
(divisibilité,etc..) ?
ma calculatrice me donne :^{10}= 45239074=2 \, \times \, 17 \, \times \, 241 \, \times \, 5521)
à
près
^{15}= 304278004998=2 \, \times \, 3^2 \, \times \, 11 \, \times \, 19 \, \times \, 59\, \times \, 601 \, \times \, 2281)
le produit vaut 1 évidemment
^n \, \times \,\left(3-2\sqrt{2} \right)^n)
à propos, je signale un truc fascinant :doh: :
est un entier naturel pair, d'après la formule du binôme.
Le terme de droite est "petit" comme progression géométrique
de raison positive strictement inférieure à 1.
est très proche de sa partie entière +1, donc d'un entier.
question: est-ce qu'il y a un lien entre les propriétés du nombre réel
et les propriétés arithmétiques de l'entier
ma calculatrice me donne :
à
le produit vaut 1 évidemment
par jeje56 » 05 Sep 2009, 09:30
u_n+1-R(2)=f(u_n)-f(R(2))... mais je ne vois pas bien comment en déduire la décroissance de u_n
par busard_des_roseaux » 05 Sep 2009, 09:35
jeje56 a écrit:u_n+1-R(2)=f(u_n)-f(R(2))... mais je ne vois pas bien comment en déduire la décroissance de u_n
f est croissante. les inégalités demeurent par composition par f.
f est strictement croissante sur
d'où les inégalités strictes sont conservées par composition
mais
et
d'où le résultat par récurrence.
par fatal_error » 05 Sep 2009, 10:33
salut,
une manière de boeuf :
_{n \in \mathbb{N}})
est une suite homographique.
On peut poser la suite matricielle :
où l'on a :
a=3, b=4,
c=2, d=3
On vérifie alors que :
En mettant le numérateur de u_n dans la premiere composante de
et le dénominateur de v_n dans la seconde composante de
, on a :
 \\ den(u_n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br />3 && 4 \\<br />2 && 3 <br />\end{pmatrix} \times<br />V_{n-1})
Il reste a trouver les valeurs pour lesquelles le dénominateur vaut 0.)
On peut ensuite diagonaliser notre matrice pour obtenir
On obtient alors le terme gen de la suite)
en fonction de n, letude de croissance est alors tranquille.
une manière de boeuf :
On peut poser la suite matricielle :
où l'on a :
a=3, b=4,
c=2, d=3
On vérifie alors que :
En mettant le numérateur de u_n dans la premiere composante de
Il reste a trouver les valeurs pour lesquelles le dénominateur vaut 0.
On peut ensuite diagonaliser notre matrice pour obtenir
On obtient alors le terme gen de la suite
la vie est une fête 
par busard_des_roseaux » 05 Sep 2009, 11:01
L'exo est intéressant.il est d'ailleurs posé chaque début d'année scolaire sur le forum :zen:
il y a un morphisme , la conjugaison:
qui ressemble à la conjugaison complexe.
or
^n}=(3-2\sqrt{2})^n)
les deux puissances sont inverses l'une de l'autre mais aussi conjuguées.
on doit donc avoir
^n}=(3-2\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2}=\frac{1}{a_n+b_n\sqrt{2}})
il suffit de vérifier que
est constant
mais
^2-2(2a_n+3b_n)^2=a_n^2-2b_n^2)
la suite est constante. ce sont des nombres de "module" 1.
d'où les formules cherchées par fatal-error:
^n + (3-2\sqrt{2})^n \right) \in \mathbb{N})
(partie réeelle)
^n -(3-2\sqrt{2})^n \right))
(partie imaginaire)
et puis
^2-2=\frac{1}{b_n^2} \rightarrow 0)
d'où des approximations rationnelles de 
il y a un morphisme , la conjugaison:
qui ressemble à la conjugaison complexe.
or
les deux puissances sont inverses l'une de l'autre mais aussi conjuguées.
on doit donc avoir
il suffit de vérifier que
mais
la suite est constante. ce sont des nombres de "module" 1.
d'où les formules cherchées par fatal-error:
(partie réeelle)
(partie imaginaire)
et puis
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