Suites

[damien]

bonjour je suis en prépa éco et j'ai du mal à faire un exercice. je suis sur le chapitre "suites".
on a une usite u définie par u_0 = 3 et qq soit n appartenant à N, u_n+1 = (3 + 2u_n)/ (2 + u_n).
a/montrer que pr tt entier naturel n le terme u_n est bien défini et u_n > 0
j'ai fait de la récurrence et je pense que c'est bon.

b/soit f la fonction définie sur R+ par f(x) = (3+2x) / (2+x).
on a alors qq soit n eappartenant à N, u_n+1 = f(u_n).
montrer que f est croissante sur R+.
j'ai fait dérivée, tableau variation, limites etc. Je ne détaille pas les calculs, dites-moi si c'est faux et on comparera pour voir où j'ai faux/.
f'(x) est de la forme u/v donc f'(x) = (u'v - uv') / v² = ... = 1 / (2+x)²
dénumérateur positif et numérateur aussi.
donc quotient des deux positif.


donc f' tjrs positive, et f tjrs croissante?

de plus, lim en 0 est 3/2 et lim en +infini est 2 ?


en déduire que, pr tt entier naturel n: u_n >= rac.3 (on pourra raisonner par réc.)
ce qu ej'ai fait.
P_0 est vraie, ça c'est bon.
Ensuite j'ai dit, pour montrer que P_n+1 est vraie, que:
u_n >= rac.3
2 + u_n >= (rac.3) + 2 >= rac.3

et u_n >= rac.3
2u_n >= 2rac.3
3 + 2u_n >= 3 + 2rac.3 >= rac.3

donc (3 + 2u_n) / (2 + u_n) >= (3 + 2rac.3) / (rac.3 + 2) = ...?
J'ai voulu factoriser par rac.3 en haut et en bas mais ensuite je m'embrouille...


[I]c/montrer que pour tt entier naturel n:
u_n+1 - rac.3 = 0:
(2 - rac.3) (u_n - rac.3) - (3 + 2u_n)/(2 + u_n) + rac.3 > 0
2u_n - 2rac.3 - u_nrac.3 +2rac.3 - (3 + 2u_n)/(2 + u_n) + rac.3 > 0
2u_n + (1 - u_n)rac.3 - (3 + 2u_n)/(2 + u_n) > 0
...

je ne sais pas si ce que je fais est bon, et de tte façon, je ne sais pas continuer.


Voilà. Je mets de côté pr l'instant la dernière qustion.
pOuvez-vous m'aider ?

mercie et au revoir.

[Chimerade]

P_0 est vraie, ça c'est bon.
Ensuite j'ai dit, pour montrer que P_n+1 est vraie, que:
u_n >= rac.3
2 + u_n >= (rac.3) + 2 >= rac.3

et u_n >= rac.3
2u_n >= 2rac.3
3 + 2u_n >= 3 + 2rac.3 >= rac.3

donc (3 + 2u_n) / (2 + u_n) >= (3 + 2rac.3) / (rac.3 + 2) = ...?

Tu as raison de mettre un "?" ! C'est inexact !
Si a > c et b > D alors on ne peut strictement rien en conclure à propos de a/b par rapport à c/d!
Par exemple :
2>1 et 3>1 ...et 2/3 1 et 2>1 ...et 3/2 > 1/1 !
2>1 et 2>1 ...et 2/2 = 1 !
Donc, il faut faire autrement...
D'abord, tu as intérêt à simplifier l'expression de f(x) :

Ceci simplifie les calculs depuis le début. On voit immédiatement que quand , on calcule immédiatement la dérivée
Et puis il y a cette question : si alors puis
Et
Soit
Tu n'as alors plus qu'à vérifier que est lui-même supérieur ou égal à ou, ce qui est plus simple, que est positif ou nul : cela ne devrait pas te poser de problème !

c/montrer que pour tt entier naturel n:
u_n+1 - rac.3 = 0:
(2 - rac.3) (u_n - rac.3) - (3 + 2u_n)/(2 + u_n) + rac.3 > 0
2u_n - 2rac.3 - u_nrac.3 +2rac.3 - (3 + 2u_n)/(2 + u_n) + rac.3 > 0
2u_n + (1 - u_n)rac.3 - (3 + 2u_n)/(2 + u_n) > 0
...

Je propose l'approche suivante :



Mais on sait que
Donc :



Je me demande bien quelle va être la dernière question ! :we:

[damien]

Merci beaucoup.
Et quelle rapidité !


Merci pour tt. J'aurais bien voulu vous "laisser" la denière question, mais mon petit doigt me dit qu'il faudrait que je travaille, sinon la prépa ne servirait à rien. (c'est moi qui dit ça??!! lol :doh: )

Je te la laisse mais ne réponds pas sur le forum stp, je sens que je cèderai à la tentation.
d) montrer que pour tout entier naturel n:
0 =< u_n - rac.3 =< (2 - rac.3)^n . (3 - rac.3).
En déduire que la suite (u_n) converge et préciser sa limite.

En tout cas merci, vraiment, merci.
A bientôt.

[Chimerade]

d) montrer que pour tout entier naturel n:
0 =< u_n - rac.3 =< (2 - rac.3)^n . (3 - rac.3).
En déduire que la suite (u_n) converge et préciser sa limite.

Bingo ! J'en étais sûr !
Alors, bon courage !