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par **Anonyme** » 24 Juin 2005, 21:32

Bonsoir,

Est ce que quelqu'un voudrait bien m'aider à la résolution de l'exercice suivant, merci beaucoup par avance.

On definit par recurrence la suite(an) par :
a1=1 et pour tout entier naturel non nul n : an+1= (1+(a1)^2+............+(an)^2)/n
Est ce que pour tout entier n non nul ,an est un entier naturel?

J'ai déjà calculé a2 ,a3, a4, a5,a6, a7 ,je trouve qu'ils sont des entiers naturels, mais pour montrer le cas general, je n'arrive pas avec un raisonnement par récurrence.

Merci pour votre aide.

par **Anonyme** » 24 Juin 2005, 22:13

Salut,

C'est la fameuse séquence de Goebels (http://mathworld.wolfram.com/GoebelsSequence.html).

Il parait que a(43) n'est pas entier !

par **Anonyme** » 24 Juin 2005, 22:15

Re,

Le lien marche pas (')' en trop) :

http://mathworld.wolfram.com/GoebelsSequence.html

par **thomasg** » 26 Juin 2005, 20:22

Bonjour,

je n'ai pour l'instant traité qu'une partie évidente du problème, c'est à dire
obtenir une expression de an+1 en fonction de an et de n.

an+1=[(n-1+an)an]/n

Quelqu'un peut-il nous aider à avancer. Merci.

par **Anonyme** » 26 Juin 2005, 21:07

Salut,

Chacun sa quète (ou sa croix) mais vouloir montrer que a(n) est toujours entier ressemble à s'y méprendre à une quadrature improbable ....

par **cesar** » 27 Juin 2005, 08:04

salut : je vous signale, si vous n'avez pas lu que

"Testing values of k shows that the first nonintegral an xn is n= 43. Note that a direct verification of this fact is impossible "

par **thomasg** » 27 Juin 2005, 09:07

tel que c'est écrit sur le site mathworld, il m'a semblé que par vérification directe ils entendaient "par un calcul à l'ordinateur"

En pensant leur assertion vraie, il me semble que l'on pourrait au moins essayer de trouver une preuve.

"La croix" n'est donc pas de prouver qu'ils sont tous entiers, mais qu'ils ne le sont pas.

A bientôt.

par **cesar** » 27 Juin 2005, 10:07

thomasg a écrit:"La croix" n'est donc pas de prouver qu'ils sont tous entiers, mais qu'ils ne le sont pas.

A bientôt.

exactement : ils ne sont pas entiers, donc inutile de chercher à prouver qu'ils le sont. Sur le site de l'ENS il existe un probleme sur le sujet - il pourrait servir de guide pour montrer que les choses sont ainsi.

perso.ens-lyon.fr/jeremie.detrey/ 04_info/pub/td_algo_01.pdf

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