Suites

[Sylar]

Bonsoir ,je vois pas très bien comment résoudre cet exercice :

Montrer que la suite (u_n),définie par u_0 appartenant a C* et :

u_(n+1)=(1/2).[ u_n + /u_n/ ] ,converge et trouver sa limite suivant u_0.

Merci...

[aviateurpilot]

tu veux dire ? ou

[Sylar]

Oui c'est ca...

[Yipee]

Peut-être pourrais-tu poser



(il faut d'abord étudier les cas où la suite peut s'annuler).

[alben]

Bonjour
Il me semble plus simple de poser
la suite des y est très simple et celle des x est monotone et vérifie

[Yipee]

Sans vouloir insister, ta méthode me semble bien plus compliqué que la mienne.

[Edrukel]

bonjour
suivant la proposition d'alben
on a 2.x(n+1)=x(n)+[(x(n))²+((1/4)^n)(y(0))²]^(1/2)
donc 2.x(n+1)>=x(n)+|x(n)|
si x(0)>=0 ,alors on a pour tout n>=1 ,x(n)>=0
si x(0)<=0 ,alors on a pour tout n>=1 ,x(n)>=0
finalement : **** pour tout n>=1 ,x(n)>=0 ***
d'où avec ** 2.x(n+1)>=x(n)+|x(n)| **
on obtient : ** pour tout n>=1 , x(n+1)>=x(n) *** ,ie (x(n)) croissante
or x(n+1)-x(n)=-x(n+1)+[(x(n))²+((1/4)^n)(y(0))²]^(1/2)
donc (x(n+1))²<=(x(n))²+((1/4)^n)((y(0))²)
donc par téléscopage, la suite ((x(n))²) est majorée par un M>=0
donc (x(n)) est majorée
finalement ,(x(n)) étant croissante et majorée,converge
sa limite je te laisse la trouver

[Edrukel]

un résultat intéressant :-)
avec u(0)=1+i
la limite de x(n) est 4/Pi ,ie la limite de u(n) puisque y(n)-->0