Suites

[bitonio]

Bonjour à tous,

une question anodine de mon devoir me laisse perplexe... ca me parrait vraiment tout bete mais je ne trouve pas l'argument choc!

Soient a et b € R, avec |a| différent de 1, et f: R -> R continue et vérifiant pour tout x

Expliquer pourquoi on peut se ramener au cas ou |a|<1

Pour moi, on peut faire (équivalent)
donc quitte à prendre p assez grand, on peut se ramener à un a/p plus petit que 1...

Quelqu'un a une idée ? merci d'avance

[alben]

Bonsoir
Non ça ne marche pas




En fait si a >1 tu peux renverser la relation en posant y=ax+b

et a'=1/a est bien inférieur à 1

[bitonio]

en effet, j'y avais pas pensé!!

merci bien

[yos]

Pose y=ax+b. Tu as x= (1/a)y-(b/a) et f(x)=f(y) .
De plus, si |a|>1, tu as |1/a|<1.

[bitonio]

Est ce que quelqu'un a une idée pour montrer qu'elle est constante (j'ai un pseudo raisonnement mais peu rigoureux qui utilise la densité de R etc... bref une escroquerie!)

Ciaoo

[yos]

f(x)=f(ax+b) avec |a|<1.
Soit x un réel. On va montrer que f(x) ne dépend pas de x.
On définit la suite U par U0=x et Un+1=aUn+b.
Montre que (Un) converge vers un réel L (=b/(1-a)) et que f(Un) est une suite constante.
On aura donc f(Un) tend vers f(L) par continuité et f(Un) tend vers f(U0).
Ce qui prouve que f(x)=b/(1-a) (constant).