Suites

[houssamhoussni]

bonjour freres,
soit Un la suite définie par
s=a+b, et Qqsoit n>2, Un=s- (ab)/Un-1 (*)
(*): Un-1 est le terme n-1 de la suite
on me demande de determiner Un en fonction de n

[jlb]

Bonsoir, on suppose déjà que le premier terme est différent 0. (voir ce qui se passe sinon)
On suppose aussi que a et b sont différents de 0 ( voir ce qui se passe sinon)
La suite est-elle définie alors? Il y a du boulot ici!!!

Si c'est le cas:
Déjà, tu remarques ce qui se passe si le premier terme vaut a ou b.
Ensuite, dans le cas où le premier terme est différent de a ou b, ( on va supposer que le premier terme est différent de a) considère la nouvelle suite de terme général (Un-b)/(Un-a).

[Ben314]

J'ai pas trop réfléchi à comment le rédiger à un niveau élémentaire, mais si tu te place sur l'espace projectif P1(R)=Ru{oo} tout se passe bien.
Sa signifie que tu peut "accepter" d'avoir à un moment donné une division par 0 dans le calcul de U(n+1), ce qui donnera évidement U(n+1)=oo puis U(n+2)=a+b+ab/oo=a+b+0=a+b et ça continuera normalement.
Et cette "acceptation" est compatible avec le changement de variable Vn=(Un-b)/(Un-a) avec évidement Un=oo ssi Vn=1. Et comme la suite Vn est géométrique de raison a/b le tout est de savoir (connaissant U0, donc V0) si cette suite Vn va tomber sur 1 à un moment donné ou pas.

Pour le rédiger "propre" sans utiliser d'espace projectif, tu as qu'à dire que tout ce que tu écrit est valable tant que Un ne s'annule pas puis une fois que tu as Un en fonction de n, ben t'a jusque qu'à regarder ce que donne l'équation Un=0 qui correspondrait au dernier terme "effectivement calculable" de la suite Un (et ça te donnerais la liste des valeurs de U0 telle que la suite "bloque" à un moment donné)

[jlb]

OK merci!!