Suites

[Vlad-Drac]

On considere la suite de terme general Un=[(1+i(n/(n²+1))]^n
Verifier que teta = n arctan (n/(n²+1)) verifie Un=|Un|e^(i teta n)
puis prouver que (un) converge..


on a
tan (teta/n) = n/(n²+1)

si on prend Z = [(1+i(n/(n²+1))]
on a Z^n=|Z|^n . e^i.n.n.arctan(n/n²+1)
et apres je sais pas quoi faire de tout ca

[Kolis]

Bonjour !
sauf valeurs exceptionnelles de

[Vlad-Drac]

Bonjour Kolis !! et merci pour ton aide !
on a
Un=(1+ i tan (teta/n))^n
soit Z=1+ i tan (teta/n)
= [ 1/cos(teta/n) ] * ( cos(teta/n) + i sin (teta/n))
ou encore Z^n = [ 1/cos(teta/n) ]^n * e ^i n(teta/n)
ssi 1/cos(teta/n) = | (1+i (n/n²+1)|
???

ducoup on a
| (1+i (n/n²+1)| = sqrt ( 1² + [ (n/n²+1)]² )
= sqrt ( 1² + [ (tan(teta/n))]² )
=sqrt ( 1 + [ (sin²(teta/n)/cos²(teta/n))]² )
=sqrt (cos²x/cos²x + [ (sin²(teta/n)/cos²(teta/n))]² )
=sqrt (1 / cos²(teta/n))
= 1/cos(teta/n)



et ca converge ?
la partie reel tend vers 1 et la partie imaginaire vers 0 ?

en explicitant :

[1/cos(arctan(n/n²+1))]^n * cos (n*arctan(n/n²+1)) + i [1/cos(arctan(n/n²+1))]^n * sin (n*arctan(n/n²+1))

Re(Un) tend vers 1 qd n tend vers + inf
et im(Un) tend vers 0 qd n tend vers + inf