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par **Maths-ForumR** » 21 Déc 2014, 16:10

Bonjour,
Je bloque totalement sur un exercice :

Soit (Un) une suite réels definie par Uo>=0 et Un+1=(1+Un²)/2

4) On pose xn=1-Un pour tout n appartenant a N

a. Montrer que 1/(xn+1) 1/xn = ½ -xn

b. Déterminer un encadrement de xn
Montrer que 1/xn >= (n+3)/2

c. Montrer que pour tt n appartenant [0 ;1] , 1/x 2, 1/x =2,

(de 2 à n) 1/k = n/2 + ln(n+2) + 1/x1

f. En déduire que lim n xn =2

Pouvez vous m'aider merci d'avance

par **BiancoAngelo** » 21 Déc 2014, 16:28

Maths-ForumR a écrit:Bonjour,
Je bloque totalement sur un exercice :

Soit (Un) une suite réels definie par Uo>=0 et Un+1=(1+Un²)/2

1) On suppose (Un) convergente
Donner les valeurs possibles de sa limite.
Pouvez vous m'aider merci d'avance

Bonjour !

Bon, déjà pour la 1), vu que la suite converge...
Soit

est une fonction continue.

Soit

la limite de la suite.

Alors

vérifie

.

Donc

.

par **BiancoAngelo** » 21 Déc 2014, 16:47

Maintenant pour la 2) :

*Si on s'intéresse à

, on tombe sur

, qui est positif.

* On a

croissante sur

.

Par récurrence, il est trivial de montrer que

.

On se rappelle que si

converge, c'est forcément vers 1. Absurde ici vus les deux résultats.

En étant croissante, elle ne peut pas être majorée, sinon elle convergerait.

Donc

.

par **BiancoAngelo** » 21 Déc 2014, 16:53

Pour la 3.a., facile également, puisque

est croissante sur

, donc par récurrence, trivial de montrer que

avec

et

.

En effet,

(on remarquera que comme f est positive, prendre un

négatif rend

et l'étude revient au même).

3.b Une suite croissante et majorée, ça converge... Bon bah alors... vers 1 !

par **zygomatique** » 21 Déc 2014, 17:22

BiancoAngelo a écrit:Maintenant pour la 2) :

*Si on s'intéresse à , on tombe sur , qui est positif.

* On a croissante sur .

Par récurrence, il est trivial de montrer que .

On se rappelle que si converge, c'est forcément vers 1. Absurde ici vus les deux résultats.

En étant croissante, elle ne peut pas être majorée, sinon elle convergerait.

Donc .

salut

je ne vois pas l'intérêt de parler de la croissance de f ...

1/ si (u_n) converge alors elle converge vers 1

2/ la suite (u_n) est croissante

donc

si u_0 > 1 et (u_n) converge alors il y a contradiction donc (u_n) ne converge pas (ou converge vers +oo)

épictou

par **BiancoAngelo** » 21 Déc 2014, 17:33

zygomatique a écrit:salut

je ne vois pas l'intérêt de parler de la croissance de f ...

1/ si (u_n) converge alors elle converge vers 1

2/ la suite (u_n) est croissante

donc

si u_0 > 1 et (u_n) converge alors il y a contradiction donc (u_n) ne converge pas (ou converge vers +oo)

épictou

Non, ce n'est pas utile, j'avais écrit ça avant de voir la croissance.
Par contre, écrire

(ou converge vers +oo)

Ca ne se dit pas, je pense.

u_0 > 1 et (u_n) converge

Je ne vois pas en quoi ça pose problème.

On a le droit d'écrire des trucs qui ne servent pas quand même, des fois... :ptdr:

Et puis, vu que la suite est croissante et non majorée, elle va en +infini... Elle ne peut qu'aller là bas.
Si elle ne converge pas, ça veut dire qu'elle a changé de sens de variations.

par **Maths-ForumR** » 21 Déc 2014, 22:12

Merci beaucoup

Pour la 4)a. Je voulais mettre l'expression au même dénominateur et factoriser par xn+1 mais je ne retombe pas sur le résultat attendue.
C'est une erreur de méthode ou de calcul ?

Pour la 4)b. Je trouve l'encadrement suivant 0<= xn > 1 c'est juste ?

par **zygomatique** » 22 Déc 2014, 10:20

déjà il faudrait calculer 1/x_{n + 1} - 1/x_n ...

par **Maths-ForumR** » 22 Déc 2014, 10:28

zygomatique a écrit:déjà il faudrait calculer 1/x_{n + 1} - 1/x_n ...

..................................................................................................................

par **zygomatique** » 22 Déc 2014, 11:08

n'importe quoi ...

et on remplace évidemment u_{n + 1} par son expression en fonction de u_n ....

par **Maths-ForumR** » 22 Déc 2014, 11:34

Ah très bien ..................

par **zygomatique** » 22 Déc 2014, 13:06

ben si tu ne veux pas faire le calcul correctement ....

ensuite tu connais les parenthèses ?

par **Maths-ForumR** » 22 Déc 2014, 13:44

................................

par **zygomatique** » 22 Déc 2014, 13:49

Maths-ForumR a écrit:1) ...
2) Oui.

3) Je trouve 1/1-Un² - 1/1-Un qui ne me mène a rien ...

et tu ne sais pas additionner des fractions ?

2/ non !!! :mur:

par **Maths-ForumR** » 22 Déc 2014, 13:57

J'essaye d'avancer dans l'exercice

4) On pose xn=1-Un pour tout n appartenant a N

a. Montrer que 1/(xn+1) 1/xn = 1/(2-xn)
Je suis toujours bloqué..

b. Déterminer un encadrement de xn
J'ai trouvé : 1 >= xn > 0

Montrer que 1/xn >= (n+3)/2
Je ne comprend pas comment un indice n peut apparaitre dans l'expression

par **Ben314** » 22 Déc 2014, 15:22

Vu que

, c'est que

et la formule de réccurence concernant les

, à savoir

devient

c'est à dire

.

On a donc

On peut évidement aussi trouver le résultat en remplaçant les

par des

, mais a mon sens, ce n'est pas malin du tout vu que la formule demandé ne contient que des

: il va donc falloir soit "tripatouiller" à la fin pour que les

redeviennent des

, soit, si on ne veut pas "tripatouiller", il faudra chercher une formule qui donne

en fonction de

et dans ce cas, autant utiliser cette formule dès la première ligne de calcul (en partant de la formule de récurrence de

pour n'avoir, dès la première ligne de calcul, que de

et pas des

.
De toute façon, de façon générale, lorsque tu as un "changement de variable" (sur des suites ou n'impote quoi d'autre), la première question a te poser, c'est "est-ce que j'arrive à inverser la relation", i.e. à trouver la bijection réciproque du changement de variable. Si la réponse et "oui et c'est simple", alors il faut évidement utiliser cette "inversion".

par **Ben314** » 22 Déc 2014, 15:29

Vu que

, c'est que

et la formule de réccurence concernant les

, à savoir

devient

c'est à dire

.

On a donc

On peut évidement aussi trouver le résultat en remplaçant les

par des

, mais a mon sens, ce n'est pas malin du tout vu que la formule demandé ne contient que des

: il va donc falloir soit "tripatouiller" à la fin pour que les

redeviennent des

, soit, si on ne veut pas "tripatouiller", il faudra chercher une formule qui donne

en fonction de

et dans ce cas, autant utiliser cette formule dès la première ligne de calcul (en partant de la formule de récurrence de

pour n'avoir, dès la première ligne de calcul, que de

et pas des

.
De toute façon, de façon générale, lorsque tu as un "changement de variable" (sur des suites ou n'impote quoi d'autre), la première question a te poser, c'est "est-ce que j'arrive à inverser la relation", i.e. à trouver la bijection réciproque du changement de variable. Si la réponse et "oui et c'est simple", alors il faut évidement utiliser cette "inversion".

par **Ben314** » 22 Déc 2014, 15:35

Sinon, "sans inverser", ça donnerais :

par **Maths-ForumR** » 22 Déc 2014, 15:38

Ah d'accord très bien, j'ai refais le calcule avec les étapes intermédiaire et je retrouve bien le même résultat merci !!

b. Déterminer un encadrement de xn
J'ai trouvé : 1 >= xn > 0

Montrer que 1/xn >= (n+3)/2
Je ne comprend pas comment un indice n peut apparaitre dans l'expression

par **Ben314** » 22 Déc 2014, 16:17

Maths-ForumR a écrit:Montrer que 1/xn >= (n+3)/2
Je ne comprend pas comment un indice n peut apparaitre dans l'expression

Ben moi, je comprend pas ce que ça peut vouloir dire "un indice n peut apparaitre dans l'expression" donc je risque pas de t'expliquer...

Par contre, p'tèt que de savoir que

, ça permettrait d'encadrer

, c'est à dire

et p'tèt qu'en ajoutant ces encadrements pour k variant de 0 à n-1 ça donnerait un truc simple.

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