Suites

[sad13]

Bonsoir,

Soit (un) une suite définie par u0 > 0 et un+1 = sin(un). On rappelle que pour tout x > 0, sin(x) < x. Montrer que (un) converge et déterminer sa limite.


la limite est 0 d'après le Th. du point fixe et vu que sin(0)=0

Pour la convergence, je bloque un peu: je pense à "Toute suite décroissante et minorée est convergente"

[Judoboy]

La convergence est immédiate, t'as une suite décroissante minorée par -1. Relis bien la première ligne de ton message.

[sad13]

Ok;j'y avais pensé sin(Un)-1, on peut conclure

Pour la limite, c'est bon?

[Judoboy]

En fait t'as pas besoin de ça, d'après le théorème du point fixe, x ->sin(x) étant contractante, elle admet un unique point fixe et toute suite définie par Un+1 = f(Un) converge vers ce point fixe.

[MMu]

Ok;j'y avais pensé sin(Un)-1, on peut conclure

Pour la limite, c'est bon?

Attention , la suite n'est pas nécessairement décroissante . Regarde par ex le cas
:zen:

[MMu]

En fait t'as pas besoin de ça, d'après le théorème du point fixe, x ->sin(x) étant contractante, elle admet un unique point fixe et toute suite définie par Un+1 = f(Un) converge vers ce point fixe.

Attention, la fonction n'est pas contractante .. :zen:

[Judoboy]

La suite est nécessairement décroissante, c'est immédiat.
En fait on n'a pas besoin d'avoir sin(x) contractante, on sait qu'il y a une limite et que Un+1=f(Un) ; comme f est continue on passe à la limite et on a f(L) = L, nécessairement L = 0.

[sad13]

MMu, tu es sérieux? Elle est nettement décroissante et pr la contractance, je dirai oui car elle est 1 lisphitzienne, à ma connaissance;

Judoboy, c'est au niveau TS que je dois le résoudre donc j'opterais plutôt pour le Th:" Toute suite décroissante et minorée est convergente"

[Judoboy]

Contractante ça demande qu'lle soit k-lipschitzienne avec k<1, ce qui n'est pas le cas, même si on a toujours abs(sin(y)-sin(x)) < 1.abs(y-x). (inégalités strictes dans les 2 cas).

Le théorème de convergence monotone porte sur les intégrales, je ne vois pas ce qu'il vient faire ici :/

Tu n'as pas vu un théorème qui dit que f est continue en a ssi pour toute suite (Un) tendant vers a, f(Un) tend vers f(a) ?

[sad13]

Je me suis trompé; cela dit on pourrait écrire |sin(x)-sin(y)| <=|x-y| vu que a a<=b?

cela dit, on chipote l'exo est résout et pr la limite, le point fixe suffit: soit Un+1=f(Un) et si Un converge vers l et f continue en l, alors ona f(l)=l (th de Term)

[MMu]

MMu, tu es sérieux? Elle est nettement décroissante et pr la contractance, je dirai oui car elle est 1 lisphitzienne, à ma connaissance;

Judoboy, c'est au niveau TS que je dois le résoudre donc j'opterais plutôt pour le Th:" Toute suite décroissante et minorée est convergente"

sad13 dis moi où vois tu la décroissance ?

:zen:

[Judoboy]

Oh le relou il a raison. Enfin c'est pas dramatique puisque U1 sera compris entre -sin(1) et sin(1).

Après on a 2 cas possibles :

U1 < 0 : t'as une suite croissante majorée par 1, tu peux le montrer par récurrence sur n, si -Pi/2
U1 > 0 : t'as une suite décroissante minorée par -1, tu le montres de la même manière.


Je suis très distrait en ce moment...