Suites

[Euler07]

Bonjour à tous montrer que la suite définie pour tout n entier naturel n'est pas convergente.

[Dinozzo13]

Salut !

Je défini sur la suite par :

On peut déjà commencer par calculer les cinq premiers termes de la suite :






Ensuite je sais pas si ça a une grande importance, mais j'étudie ses variations.
étant non nul, quel que soit :
Or si est pair alors et si est impair alors donc par conséquent, tout les termes impairs de la suite sont strictement négatifs et tout les termes pairs sont strictement positifs.
On peut en déduire que n'est pas monotone.
Ensuite , on a alors deux cas :
Si est pair alors
Si est impair alors
Par conséquent, on peux dire que la suite n'est pas convergente.
Ai-je bon ?

Peut-on dire que est divergente ?

[MacManus]

Bonjour.

Découpons le problème.

Soit la suite définie pour tout . Cette suite est alternée. En effet, les termes de cette suite valent soit 1, soit -1 (selon que l'entier n est pair ou impair).
Cette suite n'est donc pas monotone (elle n'est ni croissante, ni décroissante).

Rappel : toute suite croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) est convergente.
La suite n'est donc pas convergente. Puisque cette suite n'admet pas de limite, écriren'a donc pas de sens ici.


Soit la suite définie pour tout . Cette suite est convergente :
considérons en effet l'intervalle ouvert ]-a,a[ avec a>0 un réel. On va montrer que cet intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang (c'est la définition même d'une suite convergente).
On remarque que pour tout n>0, , donc en particulier .
De plus . Donc, pour tous les entiers (ici ), on a .
Ceci entraine que . cad : . La suiteconverge vers 0.

[Euler07]

Dinozzo13

Aïe, c'est le piège à évité. Tu dois savoir que la suite n'a pas de limite... Tu ne peux donc pas parler de limite de un comme ça.

[Dinozzo13]

C'est vrai que ça me faisait bizarre d'écrire ça, mais je ne voyait pas comment l'écrire autrement.
Question pertinente : Mais comment l'écrire ? :ptdr:

[Euler07]

Tu connais le théorème de Bolzano avec les suites extraites ?

[Dinozzo13]

Ah nam, pas encore entendu parler :triste:

[Euler07]

Pas grave :) Félicitation en tous cas pour tes efforts en maths, malgrè que tu sois en Terminal et tes sujets toujours si intéressent !

[Dinozzo13]

Wé merci, ça fait plaisir ^^

Donc on peut dire que cette suite est divergente car elle n'a pas de limite.

[Dinozzo13]

et tes sujets toujours si intéressent !

^^ Oui, c'est vrai que j'aime pas faire dans le banal ^^
(Je trouve ça lassant)

[Euler07]

Disons que par le raisonnement par l'absurde on arrive à une contradiction... (En supposant que la suite doit convergente)

[Dinozzo13]

Et donc c'est tout, je peux pas aller plus loin ?

[Euler07]

Il faudrait utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass :)

[Dinozzo13]

Bon ben ok, j'ai compris :ptdr:
En tout cas, merci pour cette exo, ça m'a permis de revoir deux trois trucs ^^

Tiens à ce propos, j'aimerai savoir quelles sont les différentes méthodes pour montrer qu'une suite est convergente, parce que c'est un peu le basard dans ma tête

[Lostounet]

^^ Oui, c'est vrai que j'aime pas faire dans le banal ^^
(Je trouve ça lassant)

Disons que Dino est un peu spécial :zen:
Il me donne toujours des exos très originaux! :id:

[Euler07]

Il y en a pleins...
Lol, je sais même pas où commencer...
- Lorsque la limite de la suite est un réel
- Théorème des gendarmes (à condition que la limite soit un réel)
- Théorème de Bolzano (dans des cas précis)
Il y en a d'autres je crois

[Euler07]

A ouais comment ça ?

[Euler07]

Disons que Dino est un peu spécial :zen:
Il me donne toujours des exos très originaux! :id:

Oui j'ai vu ça !

[Dinozzo13]

Bah, 'te donne pas cette peine alors, je le ferai moi-même :++:

Disons que Dino est un peu spécial :zen:
Il me donne toujours des exos très originaux! :id:

Tiens à propos, j'avais complètement oublié, et je pense que tu t'en rappellera pas si je le dis mais :
T'as trouvé les solutions aux deux exo que je t'avait proposé ^^
Je pense les poster demain spécialement pour toi

[Lostounet]

- Théorème des gendarmes

:ptdr:

Déjà que tous les collégiens (dont je fais partie) sont perdus avec 2 théorèmes seulement (Thalès et Pythagore).. Comment vous faites ? Taylor, Lagrange.. gendarmes.. Bolzano..?? C'est fou :ptdr:

Tiens à propos, j'avais complètement oublié, et je pense que tu t'en rappellera pas si je le dis mais :
T'as trouvé les solutions aux deux exo que je t'avait proposé ^^
Je pense les poster demain spécialement pour toi

J'avais commencé l'exo du carré mangé.. Mais malheureusement, j'ai formatté mon PC avant hier donc pouf.. toute trace de ma méthode s'est évaporée..

Mais c'est cool, je m'y remets demain sans faute donc :++: