Suites

[Anonyme]

Bonsoir,
Je sollicite votre aide pour l'exercice suivant :
soit an (n appartenant a N*) une suite de réels strictement positifs telle que la série somme des an diverge. A toute suite réelle un (n appartenant a N*), on associe la suite de terme général : Sn=[somme de k=1 à n de ak.uk] / [ somme de k=1 à n de ak]

Montrer que lim (n->+inf) [somme de k=1 à n de ak]=+inf
Je ne vois pas comment montrer cela.

Après on me demande, de montrer que si la suite un converge vers le réel l, alors la suite Sn converge vers l. Ca j'y suis arrivé.

Enfin, on me dit : soit un tel que un tende vers l à n->+inf, calculer la limite (lorsque n -->+inf) de :
[u1 + 2u2 + 3u3 + ... +nun] / n^2

La non plus, je ne vois pas comment appliquer le résultat précédent, sachant que l'exercice porte sur le théorème de Césaro ...
Merci de votre aide.

[Anonyme]

Pour la 1) dans l' énoncé tu dis que "soit an (n appartenant a N*) une suite de réels strictement positifs telle que la série somme des an diverge". Puisque c' est une série a termes positifs qui diverge, elle diverge vers +oo.

Pour calculer "[u1 + 2u2 + 3u3 + ... +nun] / n^2 ". D' apres ce qui precede, on a: (u1 + 2u2 + 3u3 + ... +nun)/(1+2+...+n) converge vers l. Donc (u1 + 2u2 + 3u3 + ... +nun)/((n*(n-1))/2). Comme n*(n-1)/2 ~ n²/2 en +oo. Tu as la réponse