Suites recurrentes d'ordre 1

[dilzydils]

Bonjour

c'est une question de logique; je voudrais savoir si mon raisonnement est bon.

Suite du type Un+1=f(Un) où f fonction continue de I dans I.

Si Un converge, alors il existe l ds I tel que l=f(l).
Par contraposée, on en déduit que si l'équation x=f(x) n'a pas de solutions, alors U diverge.
Donc, si x=f(x) a des solutions, U ne diverge pas donc U converge.
Cette derneire logne me parait douteuse...

Merci de vos eclaircissements

[yos]

Bonsoir.

La dernière déduction est fausse : ce n'est pas de la contraposition mais une réciproque inventée.

Contre-exemple : f(x)=-x et U0=1

[dilzydils]

C'est bien ce que je me disais.

Mais quel est alors l'intéret de résoudre l'éqaution x=f(x) alors qu'on ne sait pas que U converge?
Si pas de solutions, u diverge mais sinon, on peut rien dire..

[yos]

C'est TRES intéressant.

Si on ne trouve pas de solution, alors c'est réglé commme tu le disais.

S'il y a des solutions, ça te fait des candidats à la limite.

S'il y a une solution a , et que tu prouves que ta suite converge ( monotone bornée par exemple), alors c'est gagné.

Autre possibilité, regarder un-a pour un candidat a, sachant qu'il est plus facile de prouver une convergence vers 0 (par majoration en valeur absolue) que vers autre chose.

[dilzydils]

J'ai un exo ss la main:

Un+1=3/4 cos(Un).
il faut montrer que x-3/4cosx admet une unique solution sur [0,1].
On n'a pas la valeur exacte de x donc quelle est l'intérêt de cette question??

[Pythales]

La dérivée de x-3/4.cos(x) est positive sur [0;1]. La fonction croît de -3/4 à 1-3/4.cos(1) qui est positif, donc l'équation x=3/4.cos(x) a une seule racine sur [0;1]. Cette racine vaut 0.61221035, qui est la limite de la suite pour U0 compris entre 0 et 1