Suites récurrentes linéaires d'ordre 1

[ayofk]

Bonjour à tous, quelqu'un pourrait-i m'expliquer s'il vous plait le cheminement pour cet exercice:

énoncé:
On a placé au taux de 10% un capital mais de plus, on ajoute 1000€ par an à ce capital.
1) Donné l'équation complète (EC) qui décrit l'évolution du capital au cours du temps.
2) Donné l'équation homogène associée et en déduire sa solution générale.
3) Chercher une solution particulière de l'EC
4) On suppose que le capital initial placé est de 200000€, quel montant disposera-t-on dans 8 ans?

[pascal16]

1)
j'ai un capital de départ C
à la fin de la première année+1 seconde, j'ai :
10% d’intérêts en plus, soit une multiplication par 1.1
Et (avec les date/valeurs/quinzaine des banques), je rajoute ensuite 1000€.

soit C*1.1 + 1000 comme capital de départ pour la seconde année



2) perso, je fais comme un point fixe pour tomber sur Vn=Cn-lim, une suite géométrique de raison 1.1
3) je remonte à Cn par Cn=Vn+lim
4) j'applique

[ayofk]

D'accord, a partir de la première question tout est bon mais je comprend pas trop pour les suivantes. Le problème c'est de trouver notamment la solution particulière.

[SAGE63]

Bonjour

Je ne saurais (peut être ) pas résoudre les notions de
* équation complète
* équation homogène

Mais en mathématiques purement financières on peut établir la formule générale en prenant :

C : le capital placé à l'origine
M : le capital ajouté au début de chaque année
i : le taux annuel d'intérêt pour 1
n : le nombre d'années de placement

Et, à titre de vérification, il est (relativement) facile de déterminer la réponse à la question posée n° 4.

Personnellement, quand je dois résoudre des problèmes…..je commence par la question la plus facile, ici, la question 4.

[pascal16]

Thechnique que j'ai expliqué.
on cherche lim=1.1lim+1000
lim=-10 000
Vn=Cn-lim=Cn+10 000 est une suite géométrique de raison 1.1, donc
Vn=Vo*1.1^n = (C+10 000)*1.1^n (doit pas être loin de ta sol homogène)

D'où Cn=-10 000+ (C+10 000)*1.1^n (je pense que c'est ta sol complète)


AN : 440153,65€ (arrondi au centime d'euro)

remarque : un taux de 10%, ça n'existe plus, 1%, c'est mieux.

[ayofk]

Merci pour toutes ces réponses. Mais y a véritablement une chose que je comprends toujours pas: comment on calcule la solution particulière ?

[SAGE63]

La formule suivante :

Cn = -10 000,00 + [ ( C + 10 000,00 ) * 1,1 ⁿ ]

permet de résoudre les cas suivants :

C = valeur indifférente
i = taux d'intérêt annuel de 10,00 % soit 0,10 pour 1
M = augmentation de 1 000,00 euros par mois
n = valeur indifférente

MAIS…….. Comment résoudre si

C = valeur indifférente
i = taux d'intérêt annuel de "i" pour 1
augmentation de "M" euros par mois
n = valeur indifférente


a) Etablir la nouvelle formule de la "solution générale"

b) la vérifier par l'exemple suivant :

C = 80 000,00
i = 1,00 % l'an soit 0,01 pour 1 par an
"M" = 5 000,00
n = 6 ans

c) Et une cerise sur le gâteau…….résolution d'un autre "problème" de mathématiques financières………très proche…….
(dans la même lignée du type d'équation)

[pascal16]

Voici une leçon qui 'pond' la solution, partie1, en 10 lignes en supposant connus les résultats sur les ev et c'est exactement ma solution :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre3.pdf

Pour la suite de la leçon, c'est celle employée aussi pour Fibonacci.