Démonstration pour les suites récurrentes linéaires d'ordre

[BlindFingers]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre la structure de la démonstration de l'expression des termes d'une suite (Un) définie par :

(U0,U1) in R² , (a,b) in R² , U(n+2)=aU(n+1)+bU(n)

[url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_récurrente_linéaire]Le théorème[/url]

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer la structure du raisonnement svp ? Pas besoin de me donner les calculs, merci !

[leon1789]

Pour moi, la structure du théorème, c'est de l'algèbre linéaire appliquée aux suites récurrentes.

[BlindFingers]

Euh... ça m'aide pas tellement.

[Doraki]

Tu nous éclaircis pas beaucoup non plus..

Il y a une étude de cas selon de signe du discriminant associé à l'équation.
Y'a un cas que tu comprends moins que les autres ?

[BlindFingers]

Eh bien d'abord on commence par rechercher si parmi les suites recherchées, il y a des suites géométriques.

Dans la démo de mon cours, on utilise V0, V1 et V2 pour trouver l'équation caractéristique. Puis pour chaque cas, on vérifie que les suites q1^n et q2^n vérifient les conditions imposées.

Déjà cette partie je ne comprends pas. Qu'en tire-t-on ? Est-ce rigoureux de n'utiliser que V0 V1 et V2 ?

[Doraki]

C'est qui V0 V1 et V2 ?
L'équation caractéristique c'est à peu près la même chose que la relation de récurrence,
tu n'es pas sensé déjà la connaître ?

Si tu trouves q1 et q2 différents tels que les suites q1^n et q2^n vérifient la relation
de récurrence, c'est suffisant pour obtenir toutes les solutions,
parceque une suite solution est uniquement déterminée par ses 2 premières valeurs.

Avec les deux suites q1^n et q2^n, tu peux trouver 2 constantes A et B telles que la suite wn = Aq1^n + Bq2^n vérifie w0 = u0 et w1 = u1.
(wn) vérifie la relation de récurrence,(un) aussi, et elles ont les mêmes deux premières valeurs, donc (wn) et (un) sont les même suites.

Le cas où on peut trouver q1 et q2 réels et distincts ne couvre qu'un seul des trois cas.
Pour les 2 autres c'est un peu différent mais l'idée est encore de trouver 2 solutions particulières qui ne sont pas multiples l'une de l'autre.

[BlindFingers]

Oui excuse-moi, on a posé Vn=V0*q^n, et on connait la relation de récurrence.

Pfiou je comprends rien à la démarche. Pourquoi cherche-t-on si parmi les suites recherchées il y a des suites géométriques ?

[Doraki]

Parceque c'est facile de savoir si il y en a ou pas.

Et que dès que t'en trouves deux, t'as gagné parceque avec deux suites solutions de ce problème, tu obtiens en les combinant toutes les solutions possibles.

[Mahdi]

bonjour

je ne connais que le debut de la demo mais bon ;

On commence d'abord par montrer que l'application : Un ---> (U0,U1) definie de E dans R^2 est lineaire bijective avec E espace de telles suites , on en deduit que dimE=2

Donc toute suite de E s'ecrit sous forme unique sous la forme : Un=ax1 + bx2

avec a et b des reels et (x1,x2) une base de E