Suites et densité

[mehdi-128]

Bonsoir,

Voici un exercice qui me donne beaucoup de fil à retordre.

Soit et 2 suites qui divergent vers avec
On fixe . On considère un rang à partir duquel :

1/ Montrer que pour tout réel tel que , il existe un terme de la suite tel que
2/ Montrer que pour tout réel , il existe tel que
3/ En déduire que l'ensemble est dense dans .

Je suis complètement bloqué à la première question

[lyceen95]

As-tu cherché ?
As-tu envisagé une démonstration par l'absurde ?

[mehdi-128]

Oui j'ai cherché mais je n'ai rien trouvé.
Par l'absurde il faudrait montrer qu'il existe un réel tel que et tel que pour tout terme de la suite on ait : ?
Je ne suis pas sûr de la négation de la proposition que je propose.

[Kolis]

Encore un coup de "marche sur un dallage" !
Pars de en faisant des pas de longueur et montre que tu finis par dépasser . Que penser du premier terme qui dépasse ?

[mehdi-128]

Encore un coup de "marche sur un dallage" !
Pars de en faisant des pas de longueur et montre que tu finis par dépasser . Que penser du premier terme qui dépasse ?

En raisonnant par l'absurde ?

[lyceen95]

S'il n'y a aucun entier p tel que , alors il n'y a aucun entier p tel que et .

Donc comme , par récurrence, on constate que tous les termes de la suite [tex]u_n[tex] sont inférieurs à x.
Ce qui est contradictoire avec l'information : la suite tend vers plus l'infini.

[pascal16]

En mélangeant les idées de tout le monde, on a une démo dans le sens direct :
Uno <x et Un divergent vers +oo (il me semble que juste qu'elle n'admette pas de majorant doit suffire)
soit Up le premier terme tel que Up>x
Up répond à la question.

le pas de ne semble pas bien indiqué
Lycéen a fait la démo de l’existence de Up au cas où le "divergeant vers +oo" ne soit pas suffisant.

2/ : on coupe epsilon en 2.

3/ la conclusion fait un peu "pschitt" car trouver les 2 suites sans les construire exprès pour ensuite faire des différences sur les termes revient à re-formuler l'hypothèse de départ.

[mehdi-128]

"S'il n'y a aucun entier p tel que , alors il n'y a aucun entier p tel que et ."

Ça ne m'a pas l'air évident. Il n'y a aucun entier tel que
Et après je ne vois pas d'où ça sort.

[mehdi-128]

@Pascal

Comment avez vous eu l'idée de considérer "soit Up le premier terme tel que Up>x" ?

Je ne vois pas d'où ça sort

[pascal16]

elle diverge ers l'infini, donc donc non majorée
pour tout x choisi, il y a donc au moins un terme plus grand que x, et son rang est supérieur à no
j'ai pris le premier pour simplifier, mais l'existence suffit.

[mehdi-128]

Ok merci Pascal. Je pense avoir trouvé un départ de solution en faisant un dessin. On voit que sera forcément dans l'intervalle pour

Soit .
Posons :

L'ensemble est une partie de non vide car diverge vers et il est minoré par . Cet ensemble admet donc un plus petit élément.

On a d'après l'énoncé : soit

1er cas : alors par hypothèse

2ème cas : dans ce cas l'entier n'appartient pas à l'ensemble considéré donc .

On a montré que : . Ainsi :

D'où

Comme on en déduit finalement

[mehdi-128]

Pour la question 2, comme diverge vers , il existe un tel que : . Puis on utilise le résultat de la question précédent avec

Par contre la question 3 je n'ai pas trop compris

Il faut montrer que pour tout réel , il existe une suite d'éléments de qui converge vers .

Mais ici comment parler de convergence si on ne sait pas par rapport à quelle variable

[lyceen95]

La question 3 commence par 'En déduire que ...'
Ca veut dire que tu dois réutiliser le résultat prouvé en question 2. Et ça veut dire aussi que le résutat es quasiment 'immédiat'.
En d'autres mots, dans les questions 1 et 2, on a fait tous les calculs nécessaires. Et en question 3, il faut juste remettre les arguments dans l'ordre pour arriver au résultat attendu.
Quand la question commence par 'En déduire que...', La réponse tient généralement en 1 ou 2 lignes.

[mehdi-128]

Oui mais je n'ai jamais étudier la convergence de suites qui dépendent de 2 variables différentes, je ne vois pas comment faire.

Je sais qu'il faut partir de : pour tout réel , il existe tel que

Mais dans le cours c'est plutôt : signifie que la suite converge vers .

[lyceen95]

Qui a dit qu'on parlait de 'convergence de suites qui dépendent de 2 variables différentes'.
Qui a dit qu'on parlait de convergence de suites ?

[mehdi-128]

Ah merci vous avez raison, c'est la caractérisation de la densité avec les epsilon !

On a montré pour tout réel et pour tout , il existe un élément de qui est tel que : .

Ce qui signifie que est dense dans .